Varianz

Die Varianz wird als nicht relativierter Streuungsparameter bezeichnet. Sie ergibt sich als Parameter einer Stichprobe, mit dem die Breite der Verteilung gemessen werden kann, und errechnet sich aus der mittleren quadratischen Abweichung der Merkmalswerte (z.B. Einzelrenditen) von ihrem Mittelwert.

Die Varianz misst folglich die Streuung der metrischen Merkmalswerte um einen Mittelwert. Im Falle von diskreten oder klassierten Merkmalswerten muss die Formel modifiziert werden. Die Varianz ist immer größer oder gleich null. Im Rahmen der Portefeuilletheorie wird die Varianz zur Quantifizierung des Risikos verwendet. Je größer die Varianz eines Wertpapiers ist, desto größer ist das damit verbundene Risiko. Eine Varianz von null bedeutet, dass im Sinne der Portefeuilletheorie kein Risiko besteht.

Die ausschließliche Berücksichtigung des systematischen Risikos beruht darauf, dass nur das systematische Risiko kursbeeinflussend ist, da das unsystematische Risiko durch Diversifikation im realisierten effizienten Portefeuille nicht mehr besteht.

Das Ausmaß, in welchem numerische Daten (Beobachtungen) um einen Durchschnittswert streuen, wird Variation oder Streuung genannt. Die Varianz ist (und zwar neben der Spannbreite, der durchschnittlichen Abweichung und derStandardabweichung) eines der bedeutsamen Streuungsmaße und in drei Stufen zu berechnen:
1. Ermittlung der Abweichungen der nBeobachtungen x; von dem Mittel
2. Quadrierung der Abweichungenx, x
3. Errechnung des Mittels der quadratischen Abweichungen. Die Varianz ist
mithin V Z (x; x) 2 und beinhaltet somit die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Mittelwert. Diese Berechnungsart der Varianz wird auch empirische Varianz bezeichnet zum Unterschied zu der in der analytischen Statistik als Varianz angewendeten Funktion.
Varianz ist nicht so sehr von Bedeutung als beschreibende Maßzahl sondern mehr als Streuungsmaß für Schlußfolgerungen der Varianzanalyse in der Stichprobenauswertung.

In der Wirtschaftssoziologie: statistisches Streuungsmass, das die Verteilung von Messwerten um ihr arithmetisches Mittel charakterisiert, dargestellt als Summe der Abweichungsquadrate (SAQ) aller Messwerte einer Verteilung von ihrem arithmetischen Mittel, dividiert um durch die um 1 verminderte Anzahl der Messungen. Formel: SAQ = £ ft (xi-x)2 , i\'=l wobei: S2 = Varianz; xi = /-ter Messwert in der Häufigkeitsverteilung; /, = Häufigkeit des /-ten Messwertes; x = arithmetisches Mittel aller Messwerte; n = Anzahl aller Messwerte ist. Die nicht negative Quadratwurzel aus S2= heisst Standardabweichung.

Die Varianz bzw. ihre positive Quadratwurzel, die Standardabweichung, ist das wichtigste Streuungsmass (Streuungsparameter, Variabilitätsmass, Variationsmass). Sinnvollerweise sollte sie nur für metrisch skalierte Merkmale (Skala) verwendet werden. Für N Einzelwerte x_i (i = 1, 2, ..., N) einer Grundgesamtheit ist die Varianz cY² definiert als ^N ₀2 z (_{xi ti.})2 N i=1 mit dem arithmetischen Mittel 1 ^N = — Xi. i=i rechentechnisch einfacher lässt sich die Varianz z. B. als 1 ^N ₀2 = z _x2_₀,2 N i=i bzw. 1 ^N1 ^N ² _x?. _ _I_x N i=i N i=1 ^L berechnen. Der konkrete Wert der Stichprobenvarianz s² einer Stichprobe von n Einzelwerten ist als ¹ _s² — ₁ (xi — C)² _n _ mit 5-C = — Xi n i=1 definiert; nur so ist die Stichprobenvarianz eine erwartungstreue Schätzfunktion für die Varianz 6² der Grundgesamtheit. Rechentechnisch einfacher wird der konkrete Wert der Stichproben_varianz b_iTarianz als berechnet; die positive Quadratwurzel aus s², also s, heisst Stichprobenstandardabweichung. s²__________________ x² _n— ₁n ] bzw. ² n [ 1 " — s E xi — n — 1 n i=1 (1 " 2 — Xi n,=1 _S² Bei einer Häufigkeitsverteilung, bei der die k verschiedenen Merkmalswerte x_j (i = 1, 2, k) mit den absoluten Häufigkeiten h_j (i = 1, 2, ..., k) bzw. mit den relativen Häüfigkeiten (i = 1, 2, ..., k) vorliegen, ist die Varianz für die Grundgesamtheit als definiert. Für die Stichprobe ergibt sich 1 ^k ₍₃2 = s (_{xi 11})2 h_i N i=1 mit N = hi i=i bzw. Varianz

i=1 mit ri = — N 1 ^k S² — (Xi 5^.0² hi n — 1 i=i mit n = E hi i=i bzw. n ^k (Xi 30² fi ¹i=1 hi mit f^, = —. _n Bei Vorliegen einer Häufigkeitsverteilung klassifizierter Daten lässt sich die Varianz näherungsweise berechnen, indem man in den oben angegebenen Formeln statt der Merkmalswerte xi (i = 1, 2, ..., k) die Klassenmitten (i = 1, 2, ..., k) einsetzt. Literatur: Bleymüller, J./Gehlert, G./Gülicher, H., Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, 8. Aufl., München 1992.

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