Lineares Gleichungssystem

Lineare Gleichungssysteme bestehen aus m Gleichungen, in denen insgesamt n Unbekannte x1, x2,..., x„ linear auftreten. Derartige Gleichungssysteme treten im Rahmen der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung, bei der Modellierung mehrstufiger Produktionsprozesse oder etwa bei Problemen der linearen Optimierung oder des Operation Research auf und erfordern ein simultanes Lösen aller m Gleichungen. Im Falle m > n (mehr Gleichungen als Unbekannte) ist das Gleichungssystem überbestimmt und oftmals nicht lösbar, im Falle m < n entsprechend unterbestimmt. In jedem Falle lässt sich ein lineares Gleichungssystem in Matrix-Vektor-Schreibweise in der Form Ax = b darstellen, wobei b ein Vektor mit m Einträgen, A eine (m,n)-Matrix (Matrix) mit m Zeilen und n Spalten und x der Lösungsvektor mit n Einträgen ist:

Soweit ein Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt, kann diese mithilfe des Gauss\'schen Eliminationsverfahrens bestimmt werden. Dabei werden einzelne Gleichungen
(1) vertauscht,
(2) mit reellen Zahlen # 0 multipliziert oder
(3) addiert bzw. voneinander subtrahiert, um eine (obere oder untere) Dreiecksmatrix zu erzeugen. Liegt eine Dreiecksmatrix vor, können die gesuchten Unbekannten xl, x2,..., xn durch Rückwärtseinsetzen sukzessive berechnet werden. Siehe auch Wirtschaftsmathematik (mit Literaturangaben).

siehe lineares Gleichungssystem. Siehe auch Wirtschaftsmathematik (mit Literturangaben).

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