Mathematische Ableitung

siehe Ableitung, mathematische.

Zahlenwert des Differenzialquotienten einer Funktion f in einem Punkt xo, soweit dieser Zahlenwert existiert (f ist differenzierbar, vgl. Differenzieren):

Der Ableitungswert f (x0) gibt die Steigung der Funktion im Punkt xo an. Im Falle f (x0) > 0 steigt die Funktion in xo an, f\'\'(xo) < 0 zeigt an, dass f in xo fällt. Näherungsweise kann der Ableitungswert f
(4) auch als die Änderung des Funktionswertes f(x0) bei einer Änderung des Variablenwertes um eins interpretiert werden. Ist eine Funktion f in allen Punkten ihres Definitionsbereichs differenzierbar, bilden die Ableitungswerte die Ableitungsfunktion f\' von f, die das globale Änderungsverhalten von f beschreibt. Ändert sich das Vorzeichen der Ableihuigsfunktion in einem Intervall [a,b] nicht, ist f in diesem Intervall monoton (Monotonie). Höhere Ableitungen und Ableitungsfunktionen einer entsprechend oft differenzierbaren Funktion können durch mehrmaliges Differenzieren gewonnen werden. Dabei beschreibt die n-te Ableitungsfunktion jeweils das Änderungsverhalten der (n-1)-ten Ableitungsfunktion. In praktischen Anwendungen spielen meist nur die ersten beiden Ableitungen eine wichtige Rolle, da mit ihrer Hilfe Extremwerte (Maximal- bzw. Minimalwerte) von Funktionen gefunden werden können. Hängt eine differenzierbare Funktion f von mehreren Variablen ab, können partielle Ableitungen und Ableitungsfunktionen gebildet werden. Dabei werden alle anderen Variablen wie Konstante behandelt und der Differenzialquotient nach der betreffenden Variablen gebildet. Der so erhaltene Ableitungswert beschreibt dann das Änderungsverhalten der Funktion in Richtung dieser Variablen. Elastizitäten einer Funktion nach einer Variablen können als modifizierte Ableitungen interpretiert werden, bei denen statt der absoluten Änderung der Funktion die relative Änderung in Relation zu einer relativen Änderung einer Variablen untersucht wird. Siehe auch Wirtschaftsmathematik (mit Literaturangaben).

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