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gemischte Strategie

Handlungsalternative

(partiell wettbewerbli­ches Spiel): Allgemein formuliert besteht in der mathematischen Entscheidungstheorie eine gemischte Strategie aus einer Untermenge der ursprünglichen Menge an Optionen sowie einer Angabe der Wahrscheinlichkeit der Wahl jeder zu dieser Untermenge gehörenden Option. Eine derartige Strategie wird meistens symbolisiert mit P1ao, p2a2,..., pmaen. Die Optionen mit Wahr­scheinlichkeiten von Null werden nicht miteinbe­zogen. Die Annahme geht dahin, dass P” zu­nächst die Wahrscheinlichkeiten — einschließlich der Wahrscheinlichkeiten von Null — für seine ge­mischte Strategie spezifiziert, dann aber keinen weiteren Einfluss mehr auf die reine Strategie nimmt, auf die er sich festgelegt hat; diese wird vielmehr durch irgendeinen Zufallsmechanismus mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ge­steuert.
Die ursprünglichen, also nicht durch Wahrschein­lichkeiten näher spezifizierten Optionen a1, a2, ..., an nennt man demgegenüber reine Stra­tegien. Das Symbol a, wird auch bei der Behand­lung gemischter Strategien zur Bezeichnung ei­ner beliebigen Strategie aus der Gesamtmenge reiner und gemischter Strategien benutzt.
Wenn man alle überhaupt möglichen gemischten Strategien in Betracht zieht, so gibt es eine un­endlich große Anzahl möglicher Strategien, aus denen PA wählen kann; sogar bei nur zwei reinen Strategien al und a2 gibt es bereits unendlich vie­le Werte für p1 bzw. p2.
Für einen Protagonisten P” empfiehlt es sich oft, die Wahl der Alternativen einem Zufallsmecha­nismus zu überlassen. P” kann sich z.B. vorneh­men, al zu wählen, wenn bei einem Münzwurf die Zahl oben liegt, und a3 zu wählen, wenn die iviunze aen Haier zeigt. tin soicnes vorgenen stellt eine zufallsgesteuerte oder randomisierte gemischte Strategie dar.
In manchen Situationen kann es für P” empfeh­lenswert sein, seine Wahlen in der Weise zu mi­schen, dass er sie von Fall zu Fall ändert — aller­dings in einem systematischen und nicht einem zufallsähnlichen Verfahren. Insbesondere könnte P” gut daran tun, seine Entscheidungen in Ab­stimmung mit PB zu variieren; die aufeinanderfol­genden gemeinsamen Entscheidungen wären dann etwa a1b1, a2b2, a1b1, a2b2, usw. Dies nennt man eine korrelierte oder koordinierte gemischte Strategie. Sie ist manchmal bei — Verhand­lungsspielen angebracht.
Die Mengen der reinen und der gemischten Stra­tegien eines Zwei-Personen-Spiels können mit einer graphischen Darstellung illustriert werden. Die Strategiemenge besteht aus den Punkten auf den Grenzen und innerhalb der Grenzen des Dreiecks. Jeder Punkt in der Darstellung re­präsentiert eine mögliche Strategie für P” — rein oder gemischt. Die Abszisse gr zeigt die erwarte­te Auszahlung für P” bei einer bestimmten Stra­tegie, wenn Pu die Alternative b1 wählt; die Ordi­nate g2 zeigt die erwartete Auszahlung für P”, wenn PB die Alternative b2 wählt.
Eine erwartete Auszahlung ist die durchschnittli­che Auszahlung pro Durchgang, die sich also er­gibt, wenn sehr viele Durchgänge des Spiels ab­gewickelt werden. Die Berechnung von g, erfolgt unter der Annahme, PB habe b1 gewählt, die Be­rechnung von g2 demgegenüber unter der An­nahme, PB habe b2 gewählt. Für eine reine Stra­tegie ergibt sich die erwartete Auszahlung durch den Eintrag in der Auszahlungsmatrix; jeder Durchgang bringt P” — bei konstanter Strategie a; und konstantem bi — die gleiche Auszahlung.
Für eine gemischte Strategie ist die erwartete Auszahlung der Durchschnitt der mit den Wahr­scheinlichkeiten der Strategienwahl gewichteten Auszahlung.
Jede der drei reinen Strategien ist in dem Strate­gie-Mengen-Diagramm in der Abbildung darge­stellt. Die durch Mischung von je zwei reinen Strategien sich ergebenden möglichen Strategi­en werden durch die Punkte auf der geraden Li­nie zwischen den zwei Punkten abgebildet, die diese zwei reinen Strategien repräsentieren. Je­der Punkt innerhalb des durch die drei reinen Strategien gebildeten Dreiecks stellt eine zumin­dest denkbare Strategie dar. Alle überhaupt möglichen Strategien liegen innerhalb des Drei­ecks oder auf seinen Grenzlinien.

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