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Dijkstra-Algorithmus

Der Dijkstra-Algorithmus dient zur Bestimmung der kürzesten Wege von einem Knoten a zu allen anderen Knoten eines gerichteten Graphen G=(V,E). Es handelt sich daher um einen Baum-Algorithmus. Das Verfahren führt Iterationen durch.

Es benötigt für jeden Knoten i die Variablen Di und Ri zur Speicherung der (derzeit) kürzesten Entfernung und des Vorgängers im (derzeit) kürzesten Weg von a nach i sowie eine Menge MK markierter Knoten. Die Nachfolger eines Knotens i sind in der Menge Ni zusammengefasst. Der Algorithmus geht wie folgt vor: Start: Setze MK :={a}, D a := 0 sowie Di := für alle Knoten .

Iteration: Wiederhole 1. - 3. so lange, bis MK = 1. Wähle mit Dh = min { Di | } 2. Für jedes : Wenn Dj > Dh + chj , so setze Dj := Dh + chj; Rj := h; MK := 3. Setze MK := Wir wenden den Dijkstra-Algorithmus auf den Graphen an. Nach It. 1 gilt MK={2,4} und: It. 2: h = 4; keine Änderung für j = 2, D5 := 60; R5 := 4; MK = {2,5} It. 3: h = 2; D3 := 40; R3 := 2; MK = {3,5} It. 4: h = 3; D5 := 50; R5 := 3; MK = {5} It. 5: keine Änderungen; MK = Nach Abbruch des Verfahrens sind die kürzesten Entfernungen Di von a = 1 zu allen anderen Knoten i und die direkten Vorgänger Ri auf dem jeweils kürzesten Weg gespeichert: Aus den Ri lässt sich z.B. der kürzeste Weg von 1 nach 5 rekursiv, bei Knoten 5 beginnend, gemäß R5 = 3, R3 = 2 und R2= 1 zu (1, 2, 3, 5) bestimmen. Der Baum kürzester Wege ist durch fette Pfeile hervorgehoben.

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