gemischte Strategie

Handlungsalternative

(partiell wettbewerbliches Spiel): Allgemein formuliert besteht in der mathematischen Entscheidungstheorie eine gemischte Strategie aus einer Untermenge der ursprünglichen Menge an Optionen sowie einer Angabe der Wahrscheinlichkeit der Wahl jeder zu dieser Untermenge gehörenden Option. Eine derartige Strategie wird meistens symbolisiert mit P1ao, p2a2,..., pmaen. Die Optionen mit Wahrscheinlichkeiten von Null werden nicht miteinbezogen. Die Annahme geht dahin, dass P” zunächst die Wahrscheinlichkeiten — einschließlich der Wahrscheinlichkeiten von Null — für seine gemischte Strategie spezifiziert, dann aber keinen weiteren Einfluss mehr auf die reine Strategie nimmt, auf die er sich festgelegt hat; diese wird vielmehr durch irgendeinen Zufallsmechanismus mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten gesteuert.
Die ursprünglichen, also nicht durch Wahrscheinlichkeiten näher spezifizierten Optionen a1, a2, ..., an nennt man demgegenüber reine Strategien. Das Symbol a, wird auch bei der Behandlung gemischter Strategien zur Bezeichnung einer beliebigen Strategie aus der Gesamtmenge reiner und gemischter Strategien benutzt.
Wenn man alle überhaupt möglichen gemischten Strategien in Betracht zieht, so gibt es eine unendlich große Anzahl möglicher Strategien, aus denen PA wählen kann; sogar bei nur zwei reinen Strategien al und a2 gibt es bereits unendlich viele Werte für p1 bzw. p2.
Für einen Protagonisten P” empfiehlt es sich oft, die Wahl der Alternativen einem Zufallsmechanismus zu überlassen. P” kann sich z.B. vornehmen, al zu wählen, wenn bei einem Münzwurf die Zahl oben liegt, und a3 zu wählen, wenn die iviunze aen Haier zeigt. tin soicnes vorgenen stellt eine zufallsgesteuerte oder randomisierte gemischte Strategie dar.
In manchen Situationen kann es für P” empfehlenswert sein, seine Wahlen in der Weise zu mischen, dass er sie von Fall zu Fall ändert — allerdings in einem systematischen und nicht einem zufallsähnlichen Verfahren. Insbesondere könnte P” gut daran tun, seine Entscheidungen in Abstimmung mit PB zu variieren; die aufeinanderfolgenden gemeinsamen Entscheidungen wären dann etwa a1b1, a2b2, a1b1, a2b2, usw. Dies nennt man eine korrelierte oder koordinierte gemischte Strategie. Sie ist manchmal bei — Verhandlungsspielen angebracht.
Die Mengen der reinen und der gemischten Strategien eines Zwei-Personen-Spiels können mit einer graphischen Darstellung illustriert werden. Die Strategiemenge besteht aus den Punkten auf den Grenzen und innerhalb der Grenzen des Dreiecks. Jeder Punkt in der Darstellung repräsentiert eine mögliche Strategie für P” — rein oder gemischt. Die Abszisse gr zeigt die erwartete Auszahlung für P” bei einer bestimmten Strategie, wenn Pu die Alternative b1 wählt; die Ordinate g2 zeigt die erwartete Auszahlung für P”, wenn PB die Alternative b2 wählt.
Eine erwartete Auszahlung ist die durchschnittliche Auszahlung pro Durchgang, die sich also ergibt, wenn sehr viele Durchgänge des Spiels abgewickelt werden. Die Berechnung von g, erfolgt unter der Annahme, PB habe b1 gewählt, die Berechnung von g2 demgegenüber unter der Annahme, PB habe b2 gewählt. Für eine reine Strategie ergibt sich die erwartete Auszahlung durch den Eintrag in der Auszahlungsmatrix; jeder Durchgang bringt P” — bei konstanter Strategie a; und konstantem bi — die gleiche Auszahlung.
Für eine gemischte Strategie ist die erwartete Auszahlung der Durchschnitt der mit den Wahrscheinlichkeiten der Strategienwahl gewichteten Auszahlung.
Jede der drei reinen Strategien ist in dem Strategie-Mengen-Diagramm in der Abbildung dargestellt. Die durch Mischung von je zwei reinen Strategien sich ergebenden möglichen Strategien werden durch die Punkte auf der geraden Linie zwischen den zwei Punkten abgebildet, die diese zwei reinen Strategien repräsentieren. Jeder Punkt innerhalb des durch die drei reinen Strategien gebildeten Dreiecks stellt eine zumindest denkbare Strategie dar. Alle überhaupt möglichen Strategien liegen innerhalb des Dreiecks oder auf seinen Grenzlinien.

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