Normalverteilung

(engl.: normal distribution, auf deutsch auch: Gauss-Verteilung oder Gausssche Glockenkurve) Verteilung einer stetigen Variablen X mit der Dichtefunktion (Zufallsvariable). Eine Normalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die schon im 18. Jahrhundert durch Abraham de Moivre, P.S. Laplace und Carl Friedrich Gauss berechnet wurde. Die Normalverteilung nimmt in der Statistik eine zentrale Stellung ein, da alle Zufallsvariablen, die sich additiv aus vielen einzelnen unabhängigen Beobachtungen zusammensetzen, annähernd normalverteilt sind (zentraler Grenzwertsatz). Eine daraus resultierende Interpretation der Normalverteilung als Naturgesetz führte zur Namensgebung und zum Konzept des „komme moyen“ von A. Quetelet. Die Normalverteilung wird gelegentlich auch als Fehlerkurve oder aufgrund ihrer graphischen Darstellung als Glockenkurve bezeichnet. In der Praxis arbeitet man gewöhnlich mit der standardisierten Normalverteilung, deren Erwartungswert Null und deren Streuung Eins beträgt.

Die Normalverteilung ist die wohl wichtigste statistische Verteilung überhaupt. Sie geht auf Abraham de Moivre (1667-1754) und Carl Friedrich Gauss (1777—1855) zurück. Die Form der Normalverteilung wird durch die beiden Parameter i und o² bestimmt, die sich als arithmetisches Mittel bzw. Varianz der Verteilung interpretieren lassen. (Standardisierung) lässt sich jede beliebige Normalverteilung in die Standardnormalverteilung mit dem arithmetischen Mittel 0 und der Varianz 1 überführen.

Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung lautet:

Zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten normalverteilter Variablen geht man meistens von der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung aus, d. h. von

Soll also z.B. die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass eine normalverteilte Variable X mit den Parametern |x und o² Werte zwischen x_u und x_Q annimmt (vgl. die folgende Abb.), dann gilt

Die Abbildung zeigt die symmetrischen Flächenanteile für einige ausgewählte Wertepaare [z_u; z_G] der Standardnormalverteilung; mit WP sind dabei die Wendepunkte der Glockenkurve bezeichnet. In der Tabelle sind einige Werte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung zusammengestellt; für Werte z < 0 folgt aus der Symmetrie der Normalverteilung F_n(— z) ⁼⁼ 1 — F_n(z).

Literatur:
* Bleymüller, Gehlert, Gülicher, H., Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, 8. Aufl., München.
* Kreyszig, E., Statistische Methoden und ihre Anwendungen, 3. Nachdruck der 7. Aufl., Göttingen 1988.

Die Normalverteilung (auch: Gauß-Verteilung, „ Glockenkurve“) erhält ihre herausragende Bedeutung dadurch, dass sie und ihre „Abkömmlinge“ zumindest approximativ vielen Verfahren der Inferenzstatistik zugrunde liegen. Sie ist stetig, symmetrisch, ein- gipflig und gekennzeichnet durch 2 Parameter; |l in der Mitte („arithmetisches Mittel“, „Median“ und „Modus“ zugleich) und der Standardabweichung <7. Setzt man - im Einklang mit den wahrscheinlichkeitstheoretischen Axiomen - die gesamte von der Nor- malverteilungskurve umschlossene Fläche gleich 1 (oder 100), so kann der Anteil der jeweils umschlossenen Fläche in u-Einheiten berechnet werden. (So umschließt 1 Standard-Normalver- teilung. Die vielfach wiedergegebenen Tafeln beziehen sich hierauf (wobei allerdings die Art der Tabellierung durchaus unterschiedlich sein kann). Die Standardisierung empirischer Werte erfolgt durch die sog. z-Trans- formation: z = (x-x)/s.

Vorhergehender Fachbegriff: Normalverbrauch | Nächster Fachbegriff: Normalzeit

Diesen Artikel der Redaktion als fehlerhaft melden & zur Bearbeitung vormerken

Weitere Begriffe : Strategische Marktplanung | Geschmackstest | Strategic Management Capability

Praxisnahe Definitionen

Nutzen Sie die jeweilige Begriffserklärung bei Ihrer täglichen Arbeit. Jede Definition ist wesentlich umfangreicher angelegt als in einem gewöhnlichen Glossar.

Marketing

Definition

Konditionenpolitik

Fachbegriffe der Volkswirtschaft

Die Volkswirtschaftslehre stellt einen Grossteil der Fachtermini vor, die Sie in diesem Lexikon finden werden. Viele Begriffe aus der Finanzwelt stehen im Schnittbereich von Betriebswirtschafts- und Volkswirtschaftslehre.

Investitionsrechnungen

Marktversagen

Umsatzsteuer