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Distanzmasse

[s.a. Ähnlichkeitsmaßel Distanzmaße werden im Rahmen der Datenanalyse (z.B. Clusteranalyse; Mul-tidimensionale Skalierung) zur Bestimmung der Beziehungen zwischen Messobjekten eingesetzt (vgl. Hammann/Erichson, 2000, S. 272f.). Dabei werden durch Vergleiche von metrisch skalierten Ausgangsdaten (Skalenniveau) die zwischen Objekten bestehenden Ähnlichkeiten gemessen. Ist die Distanz gering, dann ist die Ähnlichkeit groß; entsprechend sind sich Objekte bei großer Distanz sehr unähnlich.

In der Wirtschaftssoziologie:

Ähnlichkeitsmasse, Klasse von Massen, die auf der Basis der Messung der „Ähnlichkeit“ von Objekten ihre Abstände in einem metrischen Raum angeben. Hierdurch wird die Datenmatrix in eine Matrix der paarweisen Distanzen zwischen den Untersuchungseinheiten überführt, die weiteren analytischen Zwecken (Cluster-Analyse, smallest space analysis) dient, die i.d.R. zu einer Reduktion der zur Beschreibung der Objekte benötigten Informationen führt. Die Distanz oder Ähnlichkeit zweier Untersuchungseinheiten wird aus dem Vergleich ihrer Merkmalsprofile (Profilanalyse) gewonnen.



Clusteranalyse

Oberbegriff für einen Typ der in der multivariaten Analyse und vor allem in der Clusteranalyse verwendeten Proximitäts­maße, mit denen im Gegensatz zu den Ähn­lichkeitsmaßen und den - Korrelationsmaßen die Entfernungsbeziehung zwischen Meßobjek­ten bestimmt wird. Durch sie wird die Entfernung zwischen Objekten im n-dimensionalen - Merk­malsraum bestimmt. Voraussetzung für die Ver­wendung von Distanzmaßen ist das Vorliegen in­tervallskalierter Daten. Die Anwendung von Di­stanzmaßen ist neben der Clusteranalyse auch in vielen anderen Bereichen der Datenanalyse sinnvoll, so bei Skalierungsverfahren und hier insbesondere bei multidimensionalen Skalierungsverfahren und bei der          Diskriminanzanalyse (z.B. Mahalanobis-Distanz).
Die beiden am meisten verwendeten Distanz­maße sind Sonderfälle der zur größeren Familie der als Minkowski-Metrik bezeichneten zählen­den Distanzmaße in der allgemeinen Form:

Distanzmaße


Dabei bezeichnet d die Distanz zwischen den Punkten j und k bei Beachtung des Minkowski­Parameters r; xja und xka sind die Koordinatenwerte des Objekts j(k) auf den Achsen a(a = 1,2, ... , m) und r ist der Metrik-Parameter (1 < r < .0). Daraus lassen sich die beiden am meisten verwendeten Distanzmaße, die Euklidische Di­stanz und die City-Block Distanz ableiten:

(1) Euklidische Distanz: Setzt man in die Min­kowski-Metrik für r = 2 ein, ergibt sich die Euklid­-Distanz


Distanzmaße


wobei xia und xka die Projektionen der Punkte j und k auf die Dimension a(a = 1,2, ..., m) darstel­len. Durch die Euklidische Distanz wird die kürze­ste Distanz zwischen zwei Objekten angegeben.
(2) City-Block-Distanz: Setzt man in die Min­kowski-Metrik für r = 1 ein, ergibt sich die City­-Block-Distanz:



Distanzmaße


Die Bezeichnung City-Block-Distanz ist aus dem Bild rechteckig angelegter Straßenzüge abgeleitet, in denen die Entfernung von einem Punkt zum anderen nicht durch die in Form der Luftlinie angegebene kürzeste Distanz zwischen zwei Punkten, sondern nur durch Entlangfahren an den Straßenzügen zurückgelegt werden kann. Im angelsächsischen Sprachraum spricht man des­halb auch von der Manhattan-Distanz bzw. der Taxifahrer-Distanz (taxicab metric).

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