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Hauptkomponentenanalyse

spezielles Verfahren der  multivariaten Analyse, das der Verfahrensgruppe der Faktorenanalyse zuzurechnen ist. Die Hauptkomponenten sind untereinander unabhängige (orthogonale) "Supervariablen", durch die die ursprüngliche Datenmatrix bzw. die ursprüngliche Korrelationsmatrix ( Korrelationsanalyse) vollständig reproduziert werden kann.

Verfahren, das der Faktorenanalyse zugerechnet wird. Es dient dazu, aus einer vorliegenden Korrelationsmatrix Haupt­komponenten (bzw. Faktoren) derart zu extrahieren, dass die von ihnen erklärte Vari­anz maximiert wird. Im Gegensatz zur Hauptfaktorenanalyse wird bei der Schät­zung immer von einer Korrelationsmatrix (Kommunalität gleich eins) ausgegangen. Das mathematische Problem der Haupt- komponentenanalyse ist die Transformation der Korrelationsmatrix der p Ausgangsvari- ablen (xi, ..xp) in eine Menge von neuen (maximalp) hypothetischen Variablen (fi. . . fp), die orthogonal aufeinander stehen. In der Notation der Faktorenanalyse führt dies zu einem Modell der Form
Hauptkomponentenanalyse mit £ der bekannten Kovarianzmatrix (Kor­relationsmatrix) und A den Matrizen der un­bekannten Ladungen der Hauptkomponen­ten. Das Gleichungssystem ist durch die Restriktion eindeutig lösbar, dass die Summe der Quadrate der Ladungen der ersten Hauptkomponente ein Maximum der Vari­anz erklärt, die zweite Hauptkomponente das Maximum der Restvarianz usw. Das Schätzproblem wird so zu einem Eigen­wertproblem, das über die Technik der La- grange Multiplikatoren gelöst werden kann. Jeder Eigenwert entspricht dem Anteil der Gesamtvarianz, der durch eine Hauptkom­ponente erklärt wird. Der dazugehörige Ei­genvektor enthält die Ladungen der Haupt­komponente (des Faktors). Die Größen der Eigenwerte geben Auskunft über die Wich­tigkeit der Hauptkomponenten bei Erklä­rung der Ausgangsmatrix. Die Ladungen entsprechen den Korrelationen der Haupt­komponente mit den Merkmaisvariablen.

Literatur:  Uberla, K., Faktorenanalyse, 2. Aufl., Berlin 1971.

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