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Wilcoxon Rangsummentest

Als ein nichtparametrischer Test auf Lage­alternativen zweier unabhängiger Stichpro­ben ist der Wilcoxon Rangsummentest be­kannt. Er kann daher in seiner Zielsetzung mit dem parametrischen Zweistichproben- t-Test verglichen werden. Es wird davon ausgegangen, dass die Daten mindestens or­dinales Meßniveau besitzen und Realisatio­nen der Stichprobenvariablen Xi,. . ., Xm bzw. Yi,. . ., Yn darstellen. Diese Stichpro­benvariablen besitzen stetige Verteilungs­funktionen F bzw. G. Das Testproblem stellt sich damit bei zweiseitiger Formulierung der Hypothesen wie folgt dar (Büning;Trenkler, 1978, S. 145): Der Test könnte bspw. zum Vergleich der Fernseheinschaltdauern während des Vor­abendprogramms von männlichen und weiblichen Jugendlichen herangezogen wer­den. Es wird also untersucht, ob die Vertei­lungen der beiden Stichproben hinsichtlich ihrer Lage signifikant gegeneinander ver­schoben sind. Zur Bestimmung einer Prüf- größe werden alle Beobachtungen beider Stichproben zusammengefügt und aufstei­gend sortiert. Auf diese Weise wird jeder Be­obachtung ein Rangplatz zugeordnet, d. h. der kleinste Beobachtungswert erhält den Rangplatz 1 und der größte den Rangplatz n + m. Die Prüfgröße bildet die Summe der Rangplätze der
1. Stichprobe, also die Rang­plätze der Beobachtungen xi,. . ., xm. Die Verteilung dieser Prüfgröße läßt sich unter der Annahme der Gültigkeit von Ho mit Hil­fe kombinatorischer Überlegungen herlei- ten. Die Nullhypothese ist zum Signifi­kanzniveau a abzulehnen, wenn der Wert der Prüfgröße kleiner oder gleich dem a/2 Fraktilbzw. größer oder gleich dem l-a/2 Fraktil dieser Verteilung ist. Die Fraktile der Verteilung der Rangsumme sind für n < 25 bei Büning/Trenkler (1978) für verschiedene a- Werte vertäfelt. An gleicher Stelle wird für n > 25 eine Approximationsformel für die Rangsummenverteilung in Abhängigkeit von n durch eine Normalverteilung beschrie­ben.  Wilcoxon Vorzeichen-Rangtest Der Wilcoxon Vorzeichen-Rangtest für den Median stellt einen nichtparametri­schen Test für symmetrische stetige Vertei­lungen dar, und ist daher als Analogon zum parametrischen Einstichproben- t-Test zu sehen. Es wird davon ausgegangen, dass die Daten kardinales Meßniveaubesitzenund die Stichprobenvariablen Xi,. . ., Xn unabhängig sind. Der Test könnte bspw. bei gleichverteil­ten Vertriebskenngrößen eingesetzt werden. Ferner wird unterstellt, dass sich die Stichpro­benvariablen symmetrisch um den Median verteilen. Die Hypothesenfürdas zweisei­tige Testproblem werden wiefolgt formuliert (.Büning;Trenkler, 1978, S. 110): Zur Bestimmung der Prüfgröße geht man zunächst zu den Differenzen Di = X; - Mo über. Die Differenzen werden der Größe ih­rer Absolutbeträge entsprechend aufstei­gend angeordnet und so mit Rangnummern versehen. r(| Di | ) bezeichnet den Rang­platz der absoluten Differenz | D; |. Als Prüfgröße wird die Summe der Rangplätze der positiven Differenzen verwendet, also Unter Gültigkeit der JNullhypothese läßt sich die Verteilung von W+ kombinatorisch für verschiedene n ermitteln. Die Nullhypo­these ist zum Signifikanzniveau a abzu­lehnen, wenn der Wert der Prüf große kleiner oder gleich dem a/2 Fraktil bzw. größer oder gleich dem -aJ2 Fraktil dieser Vertei­lung ist. Die Fraktile der Verteilung von W+ sind für 4 < n < 20 bei Biining/Trenkler (1978) vertäfelt. An gleicher Stelle wird für n > 20 eine Approximationsformel für die Verteilung von W+ durch eine Normalver­teilung beschrieben. 

Literatur:  Büning, H.; Trenkler, G., Nichtparame­trische statistische Methoden, Berlin, New York 1978.

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