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Normalverteilung

(engl.: normal distribution, auf deutsch auch: Gauss-Verteilung oder Gausssche Glockenkurve) Verteilung einer stetigen Variablen X mit der Dichtefunktion (Zufallsvariable). Eine Normalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die schon im 18. Jahrhundert durch Abraham de Moivre, P.S. Laplace und Carl Friedrich Gauss berechnet wurde. Die Normalverteilung nimmt in der Statistik eine zentrale Stellung ein, da alle Zufallsvariablen, die sich additiv aus vielen einzelnen unabhängigen Beobachtungen zusammensetzen, annähernd normalverteilt sind (zentraler Grenzwertsatz). Eine daraus resultierende Interpretation der Normalverteilung als Naturgesetz führte zur Namensgebung und zum Konzept des „komme moyen“ von A. Quetelet. Die Normalverteilung wird gelegentlich auch als Fehlerkurve oder aufgrund ihrer graphischen Darstellung als Glockenkurve bezeichnet. In der Praxis arbeitet man gewöhnlich mit der standardisierten Normalverteilung, deren Erwartungswert Null und deren Streuung Eins beträgt.

Normalverteilung

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Normalverteilung

Die Normalverteilung ist die wohl wichtigste statistische Verteilung überhaupt. Sie geht auf Abraham de Moivre (1667-1754) und Carl Friedrich Gauss (1777—1855) zurück. Die Form der Normalverteilung wird durch die beiden Parameter i und o2 bestimmt, die sich als arithmetisches Mittel bzw. Varianz der Verteilung interpretieren lassen. (Standardisierung) lässt sich jede beliebige Normalverteilung in die Standardnormalverteilung mit dem arithmetischen Mittel 0 und der Varianz 1 überführen.

Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung lautet:

Zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten normalverteilter Variablen geht man meistens von der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung aus, d. h. von

Normalverteilung

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Soll also z.B. die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass eine normalverteilte Variable X mit den Parametern |x und o2 Werte zwischen xu und xQ annimmt (vgl. die folgende Abb.), dann gilt

Normalverteilung

Die Abbildung zeigt die symmetrischen Flächenanteile für einige ausgewählte Wertepaare [zu; zG] der Standardnormalverteilung; mit WP sind dabei die Wendepunkte der Glockenkurve bezeichnet. In der Tabelle sind einige Werte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung zusammengestellt; für Werte z < 0 folgt aus der Symmetrie der Normalverteilung Fn(— z) == 1 — Fn(z).

Literatur:
* Bleymüller, Gehlert, Gülicher, H., Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, 8. Aufl., München.
* Kreyszig, E., Statistische Methoden und ihre Anwendungen, 3. Nachdruck der 7. Aufl., Göttingen 1988.

Normalverteilung

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Die Normalverteilung (auch: Gauß-Vertei­lung, „ Glockenkurve“) erhält ihre herausra­gende Bedeutung dadurch, dass sie und ihre „Abkömmlinge“ zumindest approximativ vielen Verfahren der Inferenzstatistik zu­grunde liegen. Sie ist stetig, symmetrisch, ein- gipflig und gekennzeichnet durch 2 Parame­ter; |l in der Mitte („arithmetisches Mittel“, „Median“ und „Modus“ zugleich) und der Standardabweichung <7. Setzt man - im Ein­klang mit den wahrscheinlichkeitstheoreti­schen Axiomen - die gesamte von der Nor- malverteilungskurve umschlossene Fläche gleich 1 (oder 100), so kann der Anteil der je­weils umschlossenen Fläche in u-Einheiten berechnet werden. (So umschließt 1 Standard-Normalver- teilung. Die vielfach wiedergegebenen Tafeln beziehen sich hierauf (wobei allerdings die Art der Tabellierung durchaus unterschied­lich sein kann). Die Standardisierung empiri­scher Werte erfolgt durch die sog. z-Trans- formation: z = (x-x)/s.         

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