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Inferenzstatistik

Bei der Inferenz- oder schließenden Statistik, auch als Induktiv- und beurteilende Statistik bezeichnet, geht es - im Unterschied zur be­schreibenden Statistik (Datenanalyse) - um den Schluß von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit („Repräsentations­schluß“). Dies setzt das Vorliegen einer Zu­falls- oder Wahrscheinlichkeits-Stichprobe voraus (Auswahlverfahren und -techni- ken). Dabei können, in einer gewissen „Dre­hung“ des Problems, zwei Aufgaben unter­schiedenwerden: 1) das Schätzen der Parameter der Grund­gesamtheit, 2) die Hypothesenprüfung über Gege­benheiten in der Grundgesamtheit. Zu 1: Zum Schätzen der - unbekannten - „wahren Werte“ der Grundgesamtheit wer­den Schätzer (estimators) benötigt, die auf Daten aus der Stichprobe beruhen. Im Laufe der Zeit sind sehr viele verschiedene solcher „Schätzer“ entwickelt worden. Dabei stehen nicht selten für einen Parameter der Grund­gesamtheit mehrere davon zur Verfügung (so für das arithmetische Mittel der Grundge­samtheit das arithmetische Mittel der Stich­probe, aber auch z. B. deren Median). Es be­darf deshalb gewisser Kriterien, etwa: - Erwartungstreue („Unverzerrtheit“); der Schätzer soll keinen „systematischen Feh­ler“ (bias) aufweisen (Stichprobe) - Effizienz (möglichst kleine Varianz) - Konsistenz (mit zunehmendem Stichpro­benumfang geringer werdender Zufalls­fehler) - Suffizienz (möglichst alle relevante Infor­mationen der Stichprobe nutzend) - Robustheit bzw. Resistenz: „Unempfind­lichkeit“ gegenüber Ausreißern. Es ist leicht ersichtlich, dass diese Kriterien nicht widerspruchsfrei sind: So ist das arith­metische Mittel x der Stichprobe zwar z.B. ein erwartungstreuer und auch effizienter Schätzer für den Parameter n der Grundge­samtheit (Stichprobe und das dort entwickelte Beispiel für die Intervallschätzung), aber sehr empfindlich gegenüber Ausrei­ßern; der Median ist i. d. S. „robust“ (und auch erwartungstreu), aber nicht effizient. Damit hängt es letztlich von der Gewichtung der Kriterien ab, welche Stichproben-Kenn- werte für die Parameterschätzung Verwen­dung finden (sollen). Während die traditio­nelle Inferenzstatistik sehr großen Wert auf die „Erwartungstreue“ legte, tritt in neuerer Zeit das letzte Kriterium in den Vorder­grund: ständig neue „robuste Schätzer“ wer­den entwickelt. Zu 2: In Übereinstimmung mit modernen wissenschaftstheoretischen Auffassungen mag die „Definition und Klärung des Pro­blems“ in der Weise, dass Schätzungen für die „wahren Werte“ der Grundgesamtheit erfol­gen (und diese den weiteren Analysen zu­grunde gelegt werden), als nicht hinreichend erscheinen; vielmehr wird man das Aufstel­len und Testen von Hypothesen fordern (Hypothesenprüfung). Das Ziel der Hy- pothesen-Tests ist es, eine Entscheidung da­rüber herbeizuführen, ob die aufgestellte Hypothese abzulehnen (zu „verwerfen“) ist oder nicht. Diese Entscheidung kann wegen des Zufallsfehlers aber nicht mit „Sicherheit“ erfolgen, sondern nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit. Diese ist, genau wie bei der Parameter-Schätzung, vorher aufgrund von außerstatistischen Erwägungen festzu­legen. Im Unterschied zur Parameter-Schät­zung verwendet man hierfür jedoch übli­cherweise nicht die Vertrauens-, sondern die Irrtumswahrscheinlichkeit.
Inferenzstatistik In diesem Sinne sind alle statistischen Tests Hypothesen-Tests (und i. w.S. auch Signifi- kanz-Tests). Es hat sich jedoch eingebürgert - schon wegen der unterschiedlichen Anlage in bezug auf das Interesse an der Verwerfung der Nullhypothese - zwischen Anpas­sungstests einerseits und Signifikanztests andererseits zu unterscheiden. Letztere be­ziehen sich vielfach auf die Prüfung der Si­gnifikanz von Parametern; sie sollen eine Entscheidung darüber ermöglichen, ob Un­terschiede zwischen dem postulierten „wah­ren Wert“ und dem Stichprobenergebnis nur „dem Zufall geschuldet“ oder aber - mit ei­ner bestimmten Wahrscheinlichkeit - „über­zufällig“, statistisch gesichert, signifikant sind; man spricht dann auch von Parameter­tests. Allerdings können sich Tests auch - „bivariat“ - auf die Unterschiede zwischen zwei oder - multivariat - mehreren Stichpro­ben beziehen (verbundene Stichproben, unabhängige Stichproben). Dabei bedient man sich gewisser Prüfverteilungen und kommt so zu verschiedenen bekannten Tests (t-Test, F-Test), die sich aber jeweils auf verschiedene Maßzahlen beziehen können (So gibt es eben einen „t-Test“ für das arith­metische Mittel, aber auch z. B. den Regres­sionskoeffizienten). Sind keine Verteilungs­annahmen erforderlich, so spricht man auch von nonparametrischenTestverfahren. Die angedeutete Unklarheit über die ver­schiedenen Arten von Tests wird dadurch verschärft, dass sich die Testtheorie, speziell bezüglich der Signifikanztests, aus verschie­dener Richtung entwickelt hat: durch R. A. Fisher einerseits und Neymann/Pearson an­dererseits. Letztere ist mehr „entscheidungs­orientiert“ und formal dadurch charakteri­siert, dass es sich bei der alternativen Hypothese um einen bestimmten Wert han­delt („einfache Hypothese“). So kann z.B. der Behauptung des Herstellers, der Schlechtanteil der gesamten Lieferung be­trage 3%, die des Abnehmers, er sei 5%, gegenüberstehen; die „Entscheidung“ soll aufgrund der Entnahme einer Stichprobe er­folgen. Diese Form - in der Abbildung als „Entscheidungs-Alternativen-Test“ be­zeichnet - erlaubt zwar die exakte Berech­nung des „Fehlers
2. Art“ (Signifikanzni­veau), ist in der Praxis aber (Ausnahme: Statistische Qualitätskontrolle bzw. Abnah­meprüfung) eher selten. Meist wird als Alter­native eine zusammengesetzte Hypothese - im Beispiel etwa, der Schlechtanteil sei grö­ßer als 3% (ohne dies zu spezifizieren), viel­fach aber: der „wahre Wert“ sei nicht 0, son­dern entweder größer bzw. kleiner oder einfach „ungleich“ 0 - verwandt und dies als „Signifikanztest“ (quasi im engsten Sinne) bezeichnet.         -

Literatur:  Hartung,].\', Elpelt, B.; Klösener, K.-H., Statistik, 7. Aufl., München 1989. Hüttner, M., Grundzüge der Marktforschung, 4. Aufl., Berlin Sachs, L., Angewandte Statistik, 6. Aufl., Berlin 1984.

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