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Box-Jenkins-Verfahren

wichtigste und in der Praxis weit verbreitete Variante der autoregressiven Verfahren, die zur Absatzprognose nur die tatsächli­chen Absatzwerte der Vergangenheit heran­ziehen. Jeder Zeitreihenwert ist als Summe dermit Parametern (ai) gewogenen vergange­nen Zeitreihenwerte plus einer Störvariablen et darstellbar:
Box-Jenkins-Verfahren Diese Gleichung heißt autoregressiver Pro­zeß p-ter Ordnung (AR(p)-Prozeß). Die Pa­rameter ai sind so zu schätzen, dass der Wert xt möglichst gut angenähert wird. Dazu benut­zen Box und Jenkins die Autokorrelationsfunktion rx (t= 1,2. . .), wobei X den zeitli­chen Abstand (time lag) bedeutet:
Box-Jenkins-Verfahren Da die Störvariable ct mit den Zeitreihen­werten nicht korreliert ist, verschwindet der letzte Summand. Läßt man nun X von 1 bis p laufen, erhält man ein lineares Gleichungssy­stem mit p Gleichungen, die sog. Yule-Wal- ker-Gleichungen (wobei zu beachten ist, dass r0 = 1 undr-i = n). Wegen der Symmetrie des timelags gilt:
Box-Jenkins-Verfahren Liegt ein AR(p)-Prozeß vor, so sind alle Pa­rameter ai bis i = p ungleich Null, danach gleich Null. Man kann also die Ordnung p des Prozesses bestimmen, indem man für p dicWertel,2,.. .einsetzt und das resultieren­de Gleichungssystem so oft löst, bis ap gleich Null wird. Ein zweiter Weg, Zeitreihen zu prognosti­zieren, besteht darin, den Zeitreihenwert xt durch die Vergangenheitswerte der Störvari­ablen et auszudrücken:
Box-Jenkins-Verfahren Diese Gleichung heißt Moving-Average- Prozeß q-ter Ordung (MA(q)-Prozeß). Auch hier können die Parameter a; und die Ordnung q in ähnlicher Weise ermittelt wer­den wie beim AR(p)-Prozeß. Allerdings ist hier ein nicht-lineares Gleichungssystem zu lösen, was nur auf iterativem Wege oder durch eine Taylor-Entwicklung möglich ist. Faßt man AR(p)- und MA(q)-Prozesse zu­sammen, so entsteht ein ARMA(p,q)-Prozeß, der sich der Struktur einer Zeitreihe noch besser anpaßt. Mit ARMA-Modellen lassen sich jedoch nur stationäre Zeitreihen pro­gnostizieren. Enthält eine Zeitreihe einen linearen Trend, so kann sie durch Differen­zenbildung in eine stationäre Reihe umgeformtwerden. Trend-Reihe:
Box-Jenkins-Verfahren Auf diese stationäre Reihe kann nun das Box-Jenkins-Verfahren angewendet wer­den. Anschließend muss die Differenzen- Reihe wieder „integriert“ werden, um zur ursprünglichen Reihe zurückzukehren. Box und Jenkins haben diesen allgemeinen Pro­zeß „Autoregressive integrated moving average“ (ARIM A) genannt, um anzudeuten, dass auch nichtstationäre Zeitreihen prognosti­ziert werden können.

Literatur:  Box, G. E. P.; Jenkins, G. M., Time Series Analysis, San Francisco 1976.

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