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Multiple Diskriminanzanalyse (MDA)

 Diskriminanzanalyse, multiple

Verfahren der Dependenzanalyse in der Multivariatenanalyse. Mit Hilf e der MD A versucht man Unterschiede zwischen zwei oder mehreren a priori definierten Gruppen von Untersuchungseinheiten (Objekte/Sub­jekte) auf zwei oder mehrere metrische Merkmalsvariablen zurückzuführen. Als grundlegende Fragestellungen der MDA gel­ten:
1. Gibt es signifikante Unterschiede zwi­schen den Gruppen und welche unabhän­gigen Variablen (diskriminierende Vari­ablen) bzw. welche Linearkombination von unabhängigen Variablen (Diskrimi- nanzfunktionen) tragen wie stark zu einer möglichst optimalen Trennung der Grup­pen bei (Diagnose) ?
2. Welcher Gruppe lassen sich neu zu klassi­fizierende Objekte/Subjekte aufgrund ih­rer Merkmalsausprägungen zuordnen (Klassifikation) ?
3. Läßt sich eine räumliche Abbildung von Gruppen als Zentroide oder Cluster der untersuchten Segmente aufgrund von Einstellungsurteilen oder anderen Merkmalen im Diskriminanzraum durch­führen (Positionierung) ? Das Grundprinzip der Diskriminanzanalyse besteht darin, eine kanonische Diskrimi- nanzfunktion als Linearkombination der Merkmalsvariablen zu bestimmen, mit deren Hilfe eine deutliche Trennung der definier­ten Gruppen erzielt werden kann.
Diskriminanzanalyse, multiple (MDA)
Diskriminanzanalyse, multiple (MDA)
Diskriminanzanalyse, multiple (MDA)
Diskriminanzanalyse, multiple (MDA) Die Diskriminanzfunktion hat folgende ma­thematische Form: Das Optimierungsproblem der MD A ist die BestimmungderDiskriminanzkoeffizienten bj, die das Kriterium erfüllen. Ersetzt man die unbekannten Diskriminanzwerte Yi der Elemente in den Gruppen in der Zielfunk­tion durch die Diskriminanzfunktion, ergibt sich für das Kriterium in Matrixschreibweise folgende Form:
Diskriminanzanalyse, multiple (MDA)
Diskriminanzanalyse, multiple (MDA) Dabei sind B und W Kreuz-Produkt-Sum- men-Matrizen und b ist der Spaltenvektor der gesuchten Diskriminanzkoeffizienten. Die Maximierung der Zielfunktion erfolgt über vektorielle Differentation nach k wobei I als Einheitsmatrix bezeichnet wird. Die Diskriminanzkoeffizienten ergeben sich über den zum größten Eigenwert X = max {r} zugehörigen Eigenvektor b der Matrix (W_1B)mit der Normierung (b’b = 1). Bei G Gruppen und J Merkmals variablen las­sen sich maximal Min {G-l, J) Diskriminanz- funktionen bilden. Die Vorgehensweise der Diskriminanzanalyse verdeutlicht die Abbildung. Yb = Mittlerer Diskriminanzwert (Zen- troid) von Gruppe B Y* = kritischerDiskriminanzwert Als Gütemaß der Diskriminanzfunktion wird üblicherweise der kanonische KorrelationskoeffizientC verwendet. Er ist als Wur­zel von erklärter Streuung zur Gesamtstreu­ung definiert und auf Werte zwischen Null und Eins normiert. Der Koeffizient läßt sich über die Eigenwerte berechnen:
Diskriminanzanalyse, multiple (MDA) mit X = Eigenwert der Diskriminanzfunk­tion.
Diskriminanzanalyse, multiple (MDA) Eine statistische Signifikanzprüfung der Diskriminanzfunktion kann über die Test­größe Wilks’ Lambda (auch U-Statistik), dem Quotienten aus nichterklärter Streuung und Gesamtstreuung, erfolgen: I eststatistiken liegen für A als Chi2-Ap­proximation oder als F-Approximation vor. Als Testgröße für die Signifikanz zusätzli­cher Trennkraft von Merkmalsvariablen in der Diskriminanzfunktion eignet sich eine F- Approximation von Mahalanobis Di­stanz. Dieser Test kann den zusätzlichen Beitrag einer Variablen zur Distanz zwi­schen den Gruppenzentroiden testen. Methodische Entwicklungen in der Diskri- minanzanalyse richten sich in erster Linie auf Probleme, die mit der Verwendung von kate- gorialen unabhängigen Variablen in der Diskriminanzfunktionentstehen. /

Literatur:  Backhaus, K.; Erichson, B.; Plinke, W.; Schuchard-Ficher, Chr.; Weiber, R., Multivariate Analysemethoden, 6. Aufl., Berlin, Heidelberg 1990.

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