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Sicherheitsniveau

In der mathematischen Entscheidungstheorie ist bei Entscheidungen unter Risiko definitionsgemäss jede reine Strate­gie a; ein Spiel. Die erwartete Auszahlung bei ei­nem Spiel kann man sich als die durchschnittli­che Auszahlung an den Protagonisten PA vorstel­len, wenn er dieses Spiel in einer prinzipiell un­endlich großen Anzahl von Durchgängen wählen und jeweils die entsprechende Auszahlung erhal­ten würde.
Bei jeder möglichen Alternative gibt es zumindest eine schlechteste Konsequenz, d.h. eine Kon­sequenz mit der geringsten Auszahlung. Diese schlechteste Konsequenz stellt das Sicherheits­niveau bei der Wahl dieser Alternative dar. Im Falle - gemischter Strategien ist das Sicher­heitsniveau die geringste erwartete Auszahlung. Nach dem Maximin-Prinzip sollte PA die Alternati­ve mit dem höchsten Sicherheitsniveau wählen: die Alternative, welche die maximale von allen minimalen Auszahlungen bringt.
Während man bei der Lösung eines Entschei­dungsproblems nach dem Erwartungs­wert-Prinzip gemischte Strategien ignorieren kann, ist das bei Anwendung des Maximin-Prin­zips nicht möglich, da eine gemischte Strategie ein höheres Sicherheitsniveau haben mag als ir­gendeine - reine Strategie. Ohne nähere Spezi­fikation geht man stets davon aus, dass die Lösung des Problems auf der Basis der gesam­ten Strategiemenge erfolgt; andernfalls spricht man von dem Maximin-Prinzip bezüglich der reinen Strategien. Auch wenn aber eine Lösung vor dem Hintergrund der gesamten Strategie­menge erfolgt, kann die gefundene Alternative entweder rein oder gemischt sein.
Während man bei der Lösung eines Entschei­dungsproblems nach dem Erwartungs­wert-Prinzip gemischte Strategien ignorieren kann, ist das bei Anwendung des Maximin-Prin­zips nicht möglich, da eine gemischte Strategie ein höheres Sicherheitsniveau haben mag als ir­gendeine - reine Strategie.


Ohne nähere Spezi­fikation geht man stets davon aus, dass die Lösung des Problems auf der Basis der gesam­ten Strategiemenge erfolgt; andernfalls spricht man von dem Maximin-Prinzip bezüglich der reinen Strategien. Auch wenn aber eine Lösung vor dem Hintergrund der gesamten Strategie­menge erfolgt, kann die gefundene Alternative entweder rein oder gemischt sein.
Das Maximin-Prinzip wird oft auch Minimax-Prin­zip genannt: Stellen die Einträge in der Auszah­lungsmatrix potentielle Verluste dar, so ist eine Konsequenz um so weniger wünschenswert, je größer der Eintrag ist. Hier muss es PA also um eine Minimierung der maximalen Verluste gehen. Beide Prinzipien sind jedoch äquivalent.
Ebenso wie beim Erwartungswert-Prinzip kann sich auch bei der Anwendung des Maximin-Prin­zips mehr als eine Alternative als optimal heraus­stellen, da nämlich zwei oder mehr Alternativen ein gleich hohes Sicherheitsniveau haben können. Wenn nur eine einzige Alternative opti­mal ist, so ist sie auch zulässig. Sind mehrere Al­ternativen optimal, muss mindestens eine von ih­nen zulässig sein.
Für jede Auszahlungsmatrix kann mindestens ei­ne zulässige Maximinlösung gefunden werden. Da die Menge der zulässigen Strategien mit der Menge der nach dem Erwartungswert-Prinzip op­timalen Strategien identisch ist, muss die Lösung nach dem Maximin-Prinzip eine der nach dem Erwartungswert-Prinzip möglichen Lösungen sein. Während jedoch die Lösung nach dem Erwartungswert-Prinzip sowohl von den Werten v;i der Konsequenzen wie von den Wahrschein­lichkeiten p abhängt, sind für die Lösung nach dem Maximin-Prinzip nur die Werte vi relevant; die Wahrscheinlichkeiten p. spielen keine Rolle.

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