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Chi-Quadrat-Test

Der Chi-Quadrat-Test ist ein statistisches Prüfverfahren. Er kann zur Prüfung einer Hypothese über die Verteilung eines Merkmals und zur Prüfung einer Hypothese über den Zusammenhang oder Nicht-Zusammenhang zweier Merkmale eingesetzt werden.

Verteilungstests




(x2-Test): Ein statistischer Signifikanztest zur Prüfung von - Hypothesen und Verteilungen unter Verwendung einer Prüfmaßzahl, deren Verteilung vollkommen oder näherungsweise einer x2-Verteilung, Chi­Quadrat-Verteilung, genügt. Sinnvoll ist die An­wendung des Chi-Quadrat-Tests sowohl zur Prüfung der Signifikanz der Abweichung von Erhebungs- oder Beobachtungswerten einer em­pirischen Verteilung von den x2verteilten - Er­wartungswerten einer angenommenen theoreti­schen Verteilung (Anpassungstest) oder als Hypothesentest auf Unabhängigkeit zur Ermittlung der Signifikanz eines in einer Kontin­genztabelle beobachteten Zusammenhangs zwi­schen zwei oder mehr Variablen.

1. Anpassungstest: Beim Vergleich einer empiri­schen mit einer theoretischen Verteilung wird die Verteilung der erwarteten Häufigkeiten als Nullhypothese interpretiert, so dass je nach dem gewählten Signifikanzniveau keine großen Abweichungen der empirischen von der Verteilung der erwarteten Häufigkeiten erfolgen dürfen. Bezeichnet man die theoretisch zu erwar­tenden Häufigkeiten mit fe und die tatsächlich be­obachteten Häufigkeiten mit fo, dann ist die Test­größe

Chi-Quadrat-Test

mit n - 1 Freiheitsgraden annähernd chi-quadratverteilt. Ist der empirische Wert für Chi-Quadrat kleiner als der theoretische Wert, wird die Nullhypothese angenommen, ist er größer, wird sie bei einem Signifikanzniveau a abge­lehnt. Ist x2 = 0, so sind die empirische und die theoretische Verteilung identisch. Je größer x2 wird, desto mehr wächst die Wahrscheinlichkeit, dass die empirische Verteilung nicht der theoreti­schen Häufigkeitsverteilung entspricht.

2. Test auf Unabhängigkeit: Dabei wird ebenfalls mit Hilfe der Chi-Quadrat-Verteilung die Hypo­these über das Bestehen oder Nichtbestehen ei­nes Zusammenhangs zwischen zwei - Merk­malen überprüft. In diesem Fall wird also der Test zur Prüfung der Zufälligkeit zwischen empiri­schen und theoretischen Varianzen und bei der Kombination von Signifikanztests herangezo­gen. Dabei wird ausgegangen von N empirischen Objekten, die auf zwei Merkmale A und B mit r bzw. s Ausprägungen verteilt sind (A = A1, ..., Ar und B = B1, ..., Br). Werden A und B kombiniert, kommen A,Bn1i Elemente zu


Chi-Quadrat-Test



Die Testgröße auf Unabhängigkeit lautet dann:


Chi-Quadrat-Test


Dabei ist die Testgröße für die Nullhypothese, dass A und B unabhängig und die Alternativhypo­these, dass sie nicht unabhängig sind, mit (r - 1)(s - 1) Freiheitsgraden chi-quadratverteilt. Die Nullhypothese wird also bei einem Signifikanzni­veau von a verworfen, wenn bei (r - 1)(s - 1) Freiheitsgraden x2a <_ x2 ist. Eine Vereinfachung, die besonders häufig angewandt wird, ergibt sich für die Anwendung des Chi-Quadrat-Tests bei Vierfeldertafeln. In diesem Fall nimmt die Testgröße dann die Form

Chi-Quadrat-Test

an, wobei a, b, c und d die Häufigkeiten der Kom­binationen in den vier Feldern der Assoziations­tabelle darstellen. Dabei wird die Nullhypothese bei einem Signifikanzniveau von a verworfen, wenn bei einem Freiheitsgrad von 1 x2a <_ x2 ist.
vgl. McNemar-Test

 nichtparametrisches Testverfahren zur Überprüfung der Anpassungsgüte der Ver­teilung der Stichprobenrealisationen an eine vorgegebene und vollständig spezifizierte Verteilungsfunktion beliebiger Struktur. Will bspw. ein Einzelhändler untersuchen, ob die Zahl der täglich bedienten Kunden in
Chi-Quadrat Anpassungstest seinen 6 Filialen gleichverteilt ist, bietet sich dieser Test an. Kann davon ausgegangen werden, dass die Verteilungsfunktion stetig ist und liegen wenige Beobachtungen vor, er­weist sich meist der Kolmogoroff-Smir- nov Test als das bessere Prüfverfahren. Der Test kann Daten von beliebigem Meßniveau verarbeiten. Ferner sind die n Beobachtun­gen xi,.. ,,xn in k disjunkte Klassen eingeteilt. Sie stellen Realisationen der unabhängigen Stichprobenvariablen Xi,. . .,Xndar. In jeder Klasse liegen mindestens m > 5 Beobach­tungen. Zur Formulierung der Hypothe­sen wird eine Verteilungsfunktion Fo(x) als vollständig bekannt angenommen. Mit pi wird die aus Fo(x) bestimmbare Wahrschein­lichkeit dafür bezeichnet, dass die Realisation der Stichprobenvariable Xj in der Klasse i zumTragen kommt. Die dem Testverfahren zugrundeliegenden Hypothesen lauten: Ho : F(x) = Fo(x) für alle x Hi : F(x) * Fo(x) für mindestens ein x Die Teststatistik ist unter Ho approximativ Chi-Quadrat verteilt mit k-1 Freiheitsgra­den, wobei die Approximationsgüte stark von der Einhaltung der Bedingung n; > 5 ab­
Chi-Quadrat Anpassungstest Als Teststatistik wird unter Verwendung der Klassengrößen m der folgende Wert berech­net [Biitiing/Trenkler(l978), S. 93]: hängt. Die Nullhypothese wird zum Sig­nifikanzniveau oc abgelehnt, wenn x2 > X2i-a;k-i, d.h. wenn die Prüfgröße den Wert des 1 - oc Fraktils der Chi-Quadrat Verteilung mit k-1 Freiheitsgraden über­steigt.       

Literatur:  Büning,H.; Trenkler, G.,Nichtparame­trische statistische Methoden, Berlin, New York 1978.

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