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Chi-Quadrat-Verteilung

 theoretische Verteilung, die auf F. R. Hel­mert (1875) zurückgeht. Sie ist die Verteilung der
Summe der Quadrate von n voneinan­der unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen,
d.h. von Zufallsvaria­blen, die der Normalverteilung mit den Parametern i = 0 und ö2 = 1 gehorchen, n wird auch als Anzahl der Freiheitsgrade
der Chi-Quadrat-Verteilung bezeichnet.


Die Chi-Quadrat-Verteilung wird z.B. zur Bestimmung von
Konfidenzintervallen (Schätzverfahren) für Varianzen sowie beim sog. Chi-Quadrat-Test
verwendet (Verteilungstests).


Literatur:
Kreyszig, E., Statistische Methoden und ihre Anwendungen, 3. Nachdruck der 7. Aufl., Göt­tingen 1988.




(x2) Entstammt eine zufällige Stichprobe (unabhängiger Beobachtungen) des Umf angs n mit der Varianz s2 einer normalverteilten (Normalverteilung) Grund gesamtheit mit der Varianz o2, dann gehorcht die durch x2 = (n1 JsVo2 definierte Zufallsvariable einer Chiquadratverteilung mit n1 Freiheitsgraden. Die Chiquadratverteilung ist eine stetige unsymmetrische Verteilung, deren Form ausschließlich durch die Anzahl der Freiheitsgrade geprägt wird. Sie nähert sich mit wachsender Zahl der Freiheitsgrade langsam einer Normalverteilung. Als sog. Prüfverteilung hat sie große Bedeutung in der Testtheorie (z. B. x2Anpassungstest, x2_Unabhängigkeitstest, x2_Homogenitätstest). Außerdem benötigt man sie zur Bestimmung von Konfidenzintervallen für Varianzen. Chlv) 04,. 5 10 15 20 v=l v=3 v=5 v=10 Dichtefunktionen der Chiquadratver teilung für v = 1, 3, 5 und 10 Freiheits grade

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist, wie die t- und F-Verteilung, ein „Abkömmling“ der Normalverteilung. Mit der F-Verteilung hat sie gemein, dass sie - als Quotient von Qua­draten - bei 0 beginnt und nicht symmetrisch ist, mit der t-Verteilung, dass sie durch nur 1 Freiheitsgrad charakterisiert wird.

(x2-Verteilung, HeI­mert-Pearson-Verteilung): Eine insbesondere für die Prüfung komplexer Hypothesen über die Streuung normalverteilter Zufallsgrößen z.B. in der Varianzanalyse oder für den Vergleich mehrerer Verteilungen (empirischer und theoreti­scher) geeignete stetige theoretische Prüfvertei­lung. Die Prüfung der Zufälligkeit der Differenzen zwischen den einzelnen Werten der Verteilungen erfolgt an der Summe der Quadrate der Differen­zen (= x2). Sie hat die Dichtefunktion


Chi-Quadrat-Verteilung



Der einzige Parameter dieser Verteilung ist n, das die Zahl der Freiheitsgrade bezeichnet. Die Verteilung nimmt nur positive Werte an. Mit wachsender Zahl der Freiheitsgrade nähert sie sich der Dichtefunktion einer Normalverteilung. Es handelt sich um eine eingipflige Vertei­lung, deren graphische Darstellung für kleine Freiheitsgrade schief ist und mit wachsender Zahl der Freiheitsgrade zunehmend flacher und symmetrischer wird. Für Chi-Quadrat-Verteilun­gen bestehen besondere Tabellen, die Zurückweisungsbereiche für verschiedene - Signifi­kanzniveaus unter Berücksichtigung der Frei­heitsgrade und den ihnen zugeordneten Wahr­scheinlichkeiten zeigen.







Chi-Quadrat-Verteilung


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