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Friedman-Test

stellt ein nichtparametrischesTestverfah­ren zur Überprüfung der Gleichheit von k (k > 2) unterschiedlichen Behandlungseffek­ten dar. Er ist somit als nichtparametrisches Analogon zur einfachen Varianzanalyse und dem dort durchgeführten F-Test einzu­stufen. Der Friedman Test geht von ver­bundenen Stichproben und Daten mit mindestens ordinalem Meßniveau aus. Bezeichnet man mit x;j die Realisation der j- ten Behandlung bei der i-ten Stichprobenva­riable (Xij) und werden je Behandlung n Un­tersuchungen vorgenommen, lassen sich die Untersuchungsergebnisse im in der Abbil­dung dargestellten Rechteckschema zusam­menfassen.
Friedman-Test In jedem Block faßt man k Untersuchungs­einheiten zusammen, die in sich möglichst homogen sein sollten, um die Meßfehler der Behandlungseffekte gering zu halten. Will man bspw. die Wirkungsweise verschiedener Preisniveaus auf die Wiederkaufhäufigkeit eines Produktes untersuchen, stellen die Preise die verschiedenen Behandlungen dar. In jedem Block werden k Kunden mit identi­scher Wiederkaufrate vor der Preisverände­rung zusammengefaßt. Die Untersuchungs­ergebnisse werden nun in eine Rangtabelle überführt. Dazu werden die Beobachtungs­werte innerhalb jeder Zeile der Größe nach geordnet und ihnen die Ränge 1 bis k zuge­ordnet. Damit wird jeder Realisation xij ein Rangwert rij als Realisation der Zufallsvari­ablen Rij zugeordnet. Sie ersetzen im obigen Rechteckschema die ursprünglichen Beob­achtungswerte. Jede Zeile stellt eine Permu­tation der Zahlen 1 bis k dar. Das Tableau kann nun zur Überprüfung der Hypothesen Ho: Die k Behandlungen führen zu identischen Effekten Hi : Mindestens zwei der k Behandlungen führen zu unterschiedlichen Effekten
Friedman-Test herangezogen werden. Liegen keine Unter­schiede zwischen den Effekten vor, sind die je Spalte zu erwartenden Rangsummen iden­tisch. Man wählt daher als Prüfgröße eine ge­wichtete Abweichungsquadratsumme zwi­schen den Rangsummen der Effekte und der unter Ho zu erwartenden Spaltensumme:
Friedman-Test Die Verteilung der Testfunktion Fk ist kom­binatorisch für feste k und n exakt zu ermit­teln und für kleine n und k bspw. in Bü- ning/Trenkler (1978) vertäfelt. Für größere n und k läßt sich die Verteilung von Fk durch eine Chi-Quadrat Verteilung mit k-1 Frei­heitsgraden approximieren. Die Nullhypo­these wird zum Signifikanzniveau «ver­worfen, wenn die aus den Stichprobenreali­sationen berechnete Prüfgröße größer gleich dem 1 -a Fraktil der exakten Verteilung von Fk oder größer gleich dem 1 -aFraktil der Chi-Quadrat Verteilung mit k-1 Freiheits­graden ist.        

Literatur:  Büning, H.; Trenkler, G., Nichtpara­metrische statistische Methoden, Berlin, New York 1978.

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