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nichtlineare Optiroimierung

(= nichtlineare Programmierung) Gebiet der mathematischen Optimierungstheorie, das sich mit Verfahren zur Lösung nichtlinearer Problemstellungen der Art Maximiere z(x1,  ,x„) unter den Nebenbedingungen befaßt, wobei sowohl die Zielfunktion z( x) als auch die Nebenbedingungen g1(x) nichtlineare Funktionen in den xi(1 <_ j <_ n) sein können. Minimierungsprobleme sind wegen max z(t) = min(–z(x)) in die Betrachtung eingeschlossen. Viele wirtschaftliche Planungsaufgaben besitzen diese Struktur. Verfahren der nichtlinearen Programmierung werden in der Praxis relativ selten angewandt; es liegt daran, dass Schwierigkeiten bei der Lösung nichtlinearer Probleme entstehen, wenn u.U. nur ein lokales und nicht das absolute Optimum der nichtlinearen Zielfunktion angesteuert wird. Außerdem existieren (im Gegensatz zur linearen Programmierung) keine allgemeingültigen Lösungsalgorithmen, sondern nur Verfahren für spezielle Problemklassen. Am wichtigsten dabei ist die konvexe Programmierung (z(x) und alle gi(x) sind konvexe Funktionen); Lösungsmethoden sind jedoch nur für bestimmte Spezialfälle konvexer Programme gegeben (z.B. Fall einer trennbaren Zielfunktion), wobei dann jedoch sichergestellt ist, dass tatsächlich das absolute Optimum erreicht wird. Ein Sonderfall dieser Programmklasse ist die quadratische Programrnierung (z(x) ist quadratisch, und alle g1(x) sind linear).
nichtlineare Optiroimierung Für konvexe Optimierungsaufgaben existieren verschiedene Lösungsalgorithmen wie z.B. Gradienten-, Schnittebenen- oder Strafkostenverfahren. Nichtkonvexe Problemstellungen können mit Hilfe des SUMT-Verfahrens gelöst werden, jedoch kann dabei nur ein lokales Optimum angesteuert werden. Die optimale Lösung eines nichtlinearen Programmierungsproblems mit Nebenbedingungen ist erreicht, wenn die KUHN-TUCKER-Bedingungen und bestimmte Konvexitäts-/Konkavitätsbedingungen erfüllt sind. Literatur: Luenberger, D.G. (1984). McCormick, G.M. (1983). Avriel, M. (1976). Neumann, K. (1975)

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