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Kolmogoroff-Smirnov Test

eines der bekanntesten nichtparametri­schen Testverfahren, das auch zugleich ein verteilungsfreies Testverfahren ist. Er liegt in verschiedenen Varianten für Ein- und MehrStichprobenprobleme vor. Zunächst soll das EinStichprobenproblem und damit der Test auf Anpassungsgüte bezüglich einer in der Nullhypothese genau spezifizierten stetigen Verteilungsfunktion im Vorder­grund stehen. Handelt es sich bei der zu überprüfenden Verteilungsfunktion um eine diskrete Verteilung, ist auf den Chi-Qua- drat Anpassungstest überzugehen. Es wird angenommen, dass die Daten kardinales Meßniveau besitzen und Realisationen un­abhängiger Stichprobenvariablen mit einer stetigen Verteilungsfunktion darstellen. Mit Fo sei die der Nullhypothese zugrundelie­gende und mit allen Parametern exakt spezi­fizierte Verteilungsfunktion bezeichnet. Die Hypothesen lauten im zweiseitigen Testproblem:
Kolmogoroff-Smirnov Test Bspw. könnte man sich dafür interessieren, ob die Verteilung der Zeitdauer zwischen dem Kauf und dem Wiederkauf einer Wasch­mittelmarke einer Normalverteilung mit Mittelwert 40 (Tage) und Varianz 16 (Tage2) entspricht. Als Teststatistik wird der größte Abstand zwischen Fo und der empirischen Häufigkeitsverteilung Fn der n Beobachtun­gen gewählt. Dieser tritt immer an einer Sprungstelle der empirischen Häufigkeits­verteilung auf, so dass man wegen ihrer links­seitigen Unstetigkeit als Prüfgröße die fol­gende Statistik wählt [Büning/Trenkler (1978), S. 87]:
Kolmogoroff-Smirnov Test Die Nullhypothese wird zum Signifi­kanzniveau aabgelehnt, wenn der Wert der Prüfgröße das 1 -aFraktil der Verteilung von Kn annimmt oder überschreitet. Die Fraktile der Verteilung von Kn sind für verschiedene a-Werte und n < 40 bei BUning und Trenk­ler vertäfelt. An gleicher Stelle ist auch die Vorgehensweise für einseitige Hypothesen sowie eine Approximationsformel zur Be­stimmung der Fraktilswerte für n > 40 be­schrieben. Die beschriebene Testprozedur läßt sich sehr einfach auf den Zweistichprobenfall bei zwei unabhängigen Stichproben erweitern. Wie­der wird davon ausgegangen, dass die Stich­probenvariablen Xi,..., Xm und Yi,..., Yn unabhängig sind und ihnen jeweils eine steti­ge Verteilung F(z) bzw. G(z) zugrundeliegt. Das Testproblem stellt sich in Form der fol­genden Hypothesen (zweiseitiger Test) dar:
Kolmogoroff-Smirnov Test Es wird somit untersucht, ob die beiden Meßreihen Grundgesamtheiten mit identi­schen Verteilungsfunktionen entstammen. Als Prüfgröße wird nun der größte auftreten­de Abstand der beiden empirischen Vertei­lungsfunktionen Fm und Gn gewählt [Bü- ning/Trenkler, S. 134):
Kolmogoroff-Smirnov Test Die Nullhypothese wird wieder zum Signifi­kanzniveau aabgelehnt, wenn die Prüfgröße wertmäßig größer oder gleich dem 1 -arFrak- til der Verteilung von Km,n ist. Die Fraktile der Verteilung von Km,n sind für verschiede­ne a-Werte und max(m,n) < 40 bei Büning und Trenkler vertäfelt. Für max(m,n) > 40 kann wiederum auf eine im selben Werk be­schriebene Approximation der Prüfgrößen- verteilung zurückgegriffen werden.

Literatur: Büning,H.; Trenkler, G.,Nichtparame­trische statistische Methoden, Berlin, New York 1978.

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