Kolmogoroff-Smirnov Test

eines der bekanntesten nichtparametrischen Testverfahren, das auch zugleich ein verteilungsfreies Testverfahren ist. Er liegt in verschiedenen Varianten für Ein- und MehrStichprobenprobleme vor. Zunächst soll das EinStichprobenproblem und damit der Test auf Anpassungsgüte bezüglich einer in der Nullhypothese genau spezifizierten stetigen Verteilungsfunktion im Vordergrund stehen. Handelt es sich bei der zu überprüfenden Verteilungsfunktion um eine diskrete Verteilung, ist auf den Chi-Qua- drat Anpassungstest überzugehen. Es wird angenommen, dass die Daten kardinales Meßniveau besitzen und Realisationen unabhängiger Stichprobenvariablen mit einer stetigen Verteilungsfunktion darstellen. Mit Fo sei die der Nullhypothese zugrundeliegende und mit allen Parametern exakt spezifizierte Verteilungsfunktion bezeichnet. Die Hypothesen lauten im zweiseitigen Testproblem:
Kolmogoroff-Smirnov Test

Bspw. könnte man sich dafür interessieren, ob die Verteilung der Zeitdauer zwischen dem Kauf und dem Wiederkauf einer Waschmittelmarke einer Normalverteilung mit Mittelwert 40 (Tage) und Varianz 16 (Tage2) entspricht. Als Teststatistik wird der größte Abstand zwischen Fo und der empirischen Häufigkeitsverteilung Fn der n Beobachtungen gewählt. Dieser tritt immer an einer Sprungstelle der empirischen Häufigkeitsverteilung auf, so dass man wegen ihrer linksseitigen Unstetigkeit als Prüfgröße die folgende Statistik wählt [Büning/Trenkler (1978), S. 87]:
Kolmogoroff-Smirnov Test

Die Nullhypothese wird zum Signifikanzniveau aabgelehnt, wenn der Wert der Prüfgröße das 1 -aFraktil der Verteilung von Kn annimmt oder überschreitet. Die Fraktile der Verteilung von Kn sind für verschiedene a-Werte und n < 40 bei BUning und Trenkler vertäfelt. An gleicher Stelle ist auch die Vorgehensweise für einseitige Hypothesen sowie eine Approximationsformel zur Bestimmung der Fraktilswerte für n > 40 beschrieben. Die beschriebene Testprozedur läßt sich sehr einfach auf den Zweistichprobenfall bei zwei unabhängigen Stichproben erweitern. Wieder wird davon ausgegangen, dass die Stichprobenvariablen Xi,..., Xm und Yi,..., Yn unabhängig sind und ihnen jeweils eine stetige Verteilung F(z) bzw. G(z) zugrundeliegt. Das Testproblem stellt sich in Form der folgenden Hypothesen (zweiseitiger Test) dar:
Kolmogoroff-Smirnov Test

Es wird somit untersucht, ob die beiden Meßreihen Grundgesamtheiten mit identischen Verteilungsfunktionen entstammen. Als Prüfgröße wird nun der größte auftretende Abstand der beiden empirischen Verteilungsfunktionen Fm und Gn gewählt [Bü- ning/Trenkler, S. 134):
Kolmogoroff-Smirnov Test

Die Nullhypothese wird wieder zum Signifikanzniveau aabgelehnt, wenn die Prüfgröße wertmäßig größer oder gleich dem 1 -arFrak- til der Verteilung von Km,n ist. Die Fraktile der Verteilung von Km,n sind für verschiedene a-Werte und max(m,n) < 40 bei Büning und Trenkler vertäfelt. Für max(m,n) > 40 kann wiederum auf eine im selben Werk beschriebene Approximation der Prüfgrößen- verteilung zurückgegriffen werden.

Literatur: Büning,H.; Trenkler, G.,Nichtparametrische statistische Methoden, Berlin, New York 1978.

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