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Kruskal-WallisTest

Das bekannteste nichtparametrischeTest- verfahren zum Vergleich von k (k > 2) unab­hängigen Stichproben stellt der Kruskal- WallisTest dar. Für verbundene Stichproben sei auf den Friedman Test verwiesen. Die Stichprobenumfänge ni der k Stichproben können dabei verschieden groß sein. Der Test bietet sich bspw. zu Überprüfung der Gleichheit der Altersstruktur der Kunden von k Filialen an. Der Test setzt ferner min­destens ordinale Daten innerhalb der Stich­proben voraus. Wichtige Annahmen sind außerdem die Unabhängigkeit der Stich­probenvariablen Xii,.. ., Xin , i = 1,.. .,k, die eine stetige Verteilungsfunktion Fi besitzen. Die zu überprüfenden Hypothesen lauten wie folgt:
Kruskal-WallisTest Außerdem ist in Hi auszuschheßen, dalS alle 9, identisch ungleich Null sind. Die Hypo­thesenformulierung ist daher in Analogie zur einfachen Varianzanalyse zu sehen, bei der ebenfalls Lageunterschiede zwischen den Gruppen untersucht werden. Sind die Stich­probenvariablen normalverteilt, ist daher die Varianzanalyse als parametrisches Testver­fahren dem Kruskal-Wallis Test vorzuzie­hen. Zur Bestimmung der Prüfgröße werden nun alle vorliegenden Beobachtungswerte x;j der Stichprobenvariablen Xij ohne Berücksich­tigung der Stichprobenzugehörigkeit i (i= 1,. . ,.,k) aufsteigendsortiertund entspre­chende Ränge Ri vergeben. Der kleinste Be­obachtungswert erhält dann den Rang 1, der größte den Rang Zn; = N. Als Prüfgröße wählt man die folgende Statistik [5k- ning/Trenkler(l978), S. 202]:
Kruskal-WallisTest Die Verteilung der Prüfgröße unter der An­nahme der Gültigkeit der Nullhypothese kann mit Hilfe kombinatorischer Überle­gungen für kleine k und ni exakt bestimmt werden. Für k > 3 und max(ni) > 5 sollte be­reits auf die Chi-Quadrat Verteilung mit k-1 Freiheitsgraden zur Approximation der Ver­teilung von H ausgewichen werden, da die exakte Bestimmung sehr aufwendig ist. Die Nullhypothese wird zum Signifikanzni­veau a verworfen, wenn der Wert der be­rechneten Prüfgröße das 1 -aFraktil der Chi- Quadrat Verteilung mit k-1 Freiheitsgraden übersteigt.           

Literatur:  Bümng, //.; Trenkler, G.,Nichtparame­trische statistische Methoden, Berlin, New York 1978.

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