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Mahalanobis Distanz

Die Mahalanobis Distanz ist eine spezifische Skalierungstechnik zur Mes­sung von Wahrnehmungsintensitäten, z.B. der empfundenen Preisgünstigkeit, Qualität oder Sympathie gegenüber einem Produkt bzw. Anbieter. Die Magnitude-Skalierung entstammt der Psychophysik und ver­sucht, die Nachteile der Rating-Skalierung zu vermeiden, ohne das Meßniveau einer Verhältnisskala zu besitzen und zudem im­manente Validierungsmöglichkeiten zu bie­ten. Im Gegensatz zur sog. poikilitischen Messung von gerade noch wahrnehmbaren Intensitätsunterschieden und zur sog. Tei­lungsmessung bei Rating-Skalen, geht man dabei davon aus, dass eine Person die Größe ihrer Empfindungsintensitäten un­mittelbar in ein Kontinuum bestimmter Mo­dalität, z.B. positiven ganzen Zahlen, Längen von Linien, Flächen o. ä. Größeneinschät­zungen umsetzen kann. Diese Einschätzun­gen entsprechen somit indirekten relativen Verhältnisschätzungen, wobei die Befragten einem Stimulus A, der eine doppelt so starke Empfindung wie der Stimulus B auslöst, auch den doppelten Wert der jeweiligen Magnitude-Modalität zuordnen sollen. Bei der Wahl der Zahl, Länge oder Fläche für den ersten Stimulus ist der Befragte frei. Nachfol- gende Stimuli müssen jedoch proportional skaliertwerden. In den psychophysischen Experimenten zeigte sich, dass die Funktion der subjektiv empfundenen Reizintensität in Abhängig­keit von der objektiven Reizkontinuität, d. h. die sog. psychophysische Funktion, sehr ein­heitlich verläuft und zuverlässig als (logarith- mische) Potenzfunktion mit ganzen spezifi­schen Exponenten in folgender allgemeiner Form darstellbar ist: R = a * Sb. Dabei ist R die Empfindungsreaktion, S der physikalische Stimulus, a eine Proportionali­tätskonstante und b der modalitätsspezifi­sche Exponent, der nach entsprechenden empirischen Analysen Werte von etwa 0,3 (für Helligkeit) bis 3,5 (für elektrischen Schock) annimmt. Für die in der Marktfor­schung häufig eingesetzte visuelle Fläche bzw. die Länge von Linien beträgt ß 0,7 bzw. 1,0. Die Validität der Magnitude-Skalierung im Skalenkontinuum läßt sich überprüfen, in­dem man dem Befragten die Aufgabe stellt, physikalische Reize so einzustellen, dass sie die gleiche Empfindungsintensität aufwei­sen, also z. B, einen Ton so einzustellen, dass er so laut wie ein dargebotener Lichtreiz hell ist (“cross-modality-matching “). Im Rahmen der Marktforschung verlangt man von Befragten gelegentlich, die zu ska­lierenden Reize (z.B. Preisgünstigkeit) im Verhältnis der erlebten Empfindungsstärken in mindestens zwei Modalitäten (z. B. Zahlen und Flächen) auszudrücken. Verwendet man Modalitäten mit bekannten Exponenten, kann die Validität der Skalierung überprüft werden. Der Skalenwert für einen bestimm­ten Reiz i läßt sich dann als geometrisches Mittel der Werte beider Modalitäten berech­nen.

Die Mahalanobis Distanz ist ein verallgemeinertes Distanzmaß in der multiplen Diskriminanzanalyse, welches die quadrierte Distanz D2 zwischen einem Element i und dem Gruppenmittelwert (Zentroid) der Gruppe g angibt, wobei die unterschiedlichen Maßeinheiten der Varia­blen sowie die Korrelationen zwischen den Variablen berücksichtigt werden. Sind Xi und Xj Vektoren von Koordinaten für 2 Punkte im M-dimensionalen Raum mit der Innergruppen-Kovarianzmatrix V, dann ist D2 definiert als

Mahalanobis Distanz

Die quadrierte Mahalanobis Distanz kann zur Klassifikation von neuen Elementen (Distanzkonzept) sowie zur Berechnung von Klassifizierungswahrscheinlichkeiten herangezogen werden. Desweiteren dient die quadrierte Mahalanobis Distanz als Basis für die F-Approximation zur Messung des Bei­trags, aen eine zusätzliche Variable zur Trennfähigkeit der Diskriminanzfunktion beiträgt.   

Literatur: Grunert, K. G., Magnitude-Skalierung, in: Marketing ZFP, 5. Jg. (1983), S. 108 -112.

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