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logistische Funktion

häufig benutzte Prognosefunktion für langfristige Prognosen (Wachstums- und Sättigungsfunktionen). Grundlage der logistischen Funktion ist die Annahme, dass das Wachstum des betrachteten Prozesses (z. B. des Pkw- Bestandes in einem Land) proportional ist •   dem zum Zeitpunkt t erreichten Niveau x(t) und •   der Differenz zwischen dem erreichten Niveau x(t) und dem absoluten Sättigungsniveau S logistische Funktion logistische Funktion wobei a der Proportionalitätsfaktor und dx/dt das Wachstum pro Zeiteinheit sind. Aus der Wachstumsgleichung ergibt sich durch Integration und nach mehreren Umformungen die Gleichung der logistischen Funktion: Die Parameter S, a und C müssen aus den Vergangenheitsdaten der Zeitreihe geschätzt werden. Die Abbildung zeigt die Prognose des Pkw-Bestandes je 1000 Erwachsene in der Bundesrepublik mit Hilfe der logistischen Funktion, für die folgende Parameter geschätzt wurden: S = 625, a = 0,000216, C =-2,6109.                    

(logistische Kurve): Eine in der Wirtschaftsprognostik verwendete symme­trische Wachstumsfunktion, die ebenso wie die Gompertzfunktion und die - modifizierte Ex­ponentialfunktion auf - Sättigungsfunktionen beruht. Ihre allgemeine Formel lautet:

logistische Funktion
Dabei bezeichnet a das geschätzte Sättigungsni­veau von Y, b den Abstand des Nullpunkts vom Wendepunkt, c das Steigungsmass und e die Ba­sis der natürlichen Logarithmen. Die graphische Darstellung der logistischen Funktion ergibt ebenso wie die - Gompertzfunktion eine s-för­mige Kurve, die allerdings im Gegensatz zu die­ser symmetrisch verläuft. Logistische Kurven sind ebenso wie Gompertzkurven für die          Prognose langfristiger Entwicklungen geeignet. Hinlänglich genaue Werte für b und c können durch Schätzung aufgrund von Zeitreihendaten oder durch Versuch und Irrtum (Trial and Error) und Vergleich mit Werten, die in der Vergangen­heit tatsächlich beobachtet wurden, ermittelt wer­den. Bis zum Wendepunkt nimmt das Wachstum zu, danach nimmt es ab.

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