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Methode der kleinsten Quadrate

Die Methode der kleinsten Quadrate (MKQ) ist Teil der Regressions- und Korrelationsrechnung und kommt in der Kostenrechnung zum Einsatz, wenn es darum geht, Kosten- und Beschäftigungswerten, die sich aus Messungen ergeben haben, eine lineare Kostenfunktion zuzuordnen.

Die lineare Kostenfunktion, die die empirischen Wertepaare am besten beschreibt, wird so bestimmt, daß die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen den effektiven Istkosten und den zugehörigen Werten auf der Regressions- oder Ausgleichsgeraden ein Minimum ergibt.

Problem:
(1) Die MKQ gehört zu den statistischen Methoden der Kostenauflösung und weist die für diese Methodengruppe typische Schwäche der Vergangenheitsbezogenheit auf. Die MKQ ist die genaueste der statistischen Kostenauflösungsmethoden.

(2) Früher wurde die MKQ gelegentlich wegen des hohen Rechenaufwands abgelehnt. Das Argument des Rechenaufwands ist nicht stichhaltig. Wie das folgende Beispiel zeigt, genügt ein Taschenrechner, um die MKQ durchzuführen.

Zeichnet man die Werte aus der Stelle Endmontage in ein Diagramm, dann wird deutlich, daß sich der Zusammenhang zwischen den Kosten
der Stelle und der Beschäftigung näherungsweise durch eine Gerade (Regressionsgerade, Ausgleichsgerade) darstellen läßt. Diese ist so ins Diagramm zu legen, daß die Quadrate der Abweichungen (eine Abweichung ist beispielhaft eingezeichnet) minimiert werden.

ein Hilfsmittel der Regressions- und Korrelationsrechnung, wird bei der Ermittlung der Sollkosten zur Berechnung des Trends der Gemeinkosten (Trendberechnung) verwendet. Die gesuchte lineare Funktion der Sollkosten läßt sich aus den beobachteten Istkosten ermitteln, wenn man folgende Grundforderung dieser Methode einhält: Die Summe der ins Quadrat erhobenen Abstände zwischen den Ursprungswerten (Istkosten) und der gesuchten Trendkurve (Sollkosten) muß ein Minimum ergeben. Die mathematische Lösung ist durch Differentiation zu ermitteln.

In der Wirtschaftssoziologie: leastsquare method, Schätzverfahren in der Statistik, bei dem die (unbekannten) Parameter eines Modells durch die Minimierung der Summe der quadrierten Abweichungen der tatsächlichen (empirischen) Werte von den theoretischen geschätzt werden. Die Methode der kleinsten Quadrate d. k. Q. wird z.B. zur Berechnung von Regressionskoeffizienten benutzt. Unter gewissen Voraussetzungen liefert die Methode der kleinsten Quadrate d. k. Q. die gleichen Ergebnisse wie das Maximum-Likelihood-Prinzip.

Regressionsanalyse, Mehrgleichungsmodell- Schätzung

In der Zeitreihenanalyse das am häufigsten verwen­dete mathematische Verfahren der Trendberech­nung mit Hilfe der Regressionsanalyse durch Anpassung einer theoretischen an eine empiri­sche Verteilung bzw. Kurve. Das Verfahren be­steht darin, die - Parameter, d.h. die Konstan­ten a und b der Regressionsgleichung so festzu­legen, dass die Quadratsumme der Abweichun­gen der theoretischen Kurve von den empiri­schen Werten ein Minimum ergibt. Im Fall einer linearen Einfachregression (Y = a + bX) ergeben sich unter der Bedingung der Methode der klein­sten Quadrate, nämlich

Methode der kleinsten Quadrate


 die beiden Normalgleichungen


Methode der kleinsten Quadrate


aus denen sich a und b bestimmen lassen:





Methode der kleinsten Quadrate

In der Praxis der Trendrechnung wird der Re­chengang oft dadurch vereinfacht, dass die zeitli­che Mitte des Untersuchungsabschnitts gleich Null gesetzt wird. Dadurch erhalten die davor lie­genden Werte negative, die nachfolgenden Wer­te positive Vorzeichen und die Summe der X-Werte wird gleich Null. Für die Normalgleichun­gen ergibt sich die Vereinfachung

Methode der kleinsten Quadrate


und folglich für



Methode der kleinsten Quadrate




Methode der kleinsten Quadrate



(d.h. das arithmetische Mittel aus den Beobach­tungswerten) und Gegenüber der Methode der gleitenden Durchschnitte, wird bei der Methode der klein­sten Quadrate die Verzerrung vermieden, die da­durch entsteht, dass die Trendwerte noch anstei­gen können, während die Werte in der Ur­sprungsreihe bereits abnehmen.

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