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Mehrdimensionale Skalierung (MDS)

Verfahren der Interdependenzanalyse in der Multivariatenanalyse zur Ermittlung der grundlegenden Merkmalsdimensionen, auf denen Stimuli differenziert oder beurteilt werden. Es wird im Marketing zur Identifi­kation der Positionen von Produkten (Sti­muli) auf diesen Merkmalsdimensionen ein­gesetzt, wobei die Relationen der Produkte über eine Punktekonfiguration in zwei oder drei Dimensionen räumlich abgebildet wer­den können (Positionierung). Erfaßt man Wahrnehmungen, bezeichnet man die grafi­sche Repräsentation als Wahrnehmungs­raum. Die Abb. veranschaulicht als Beispiel den Wahrnehmungsraum von Hausfrauen für Backprodukte. Die relevanten Merk­malsdimensionen sind Preisgünstigkeit und Qualität (Frische und Zutaten). Alternativ lassen sich auch Präferenzen ab- fragen, wobei die Dimensionen den Präfe­renzraum des Befragten aufspannen (Po­sitionierungsmodell). Im sog. Joint Space werden Ähnlichkeiten zwischen Stimuli und Präferenzdaten integriert. Eine weitere Mög­lichkeit ist die Einbeziehung von Idealpunk­ten, d. h. hypothetischen Stimuli mit höch­ster Präferenz (Kaufmodell). Ausgangsbasis der allgemeinen MDS ist eine Dreiecksmatrix mit Koeffizienten für die wahrgenommene Ähnlichkeit bzw. Unähn­lichkeiten zwischen Stimulipaaren. Man un­terscheidet je nach Skalenniveau der Aus­gangsdaten metrische und nichtmetrische MDS. Methoden der Datenerhebung stellen der Paarvergleich, Ähnlichkeitsratings und die Ankerpunktmethode dar. Hierbei sind jeweils Produktpaare nach Ähnlichkeit oder Präferenz zu ordnen oder zu beurteilen. Wer­den die Objekte nach Präferenz (Unfol- ding) geordnet, unterstellt man implizit, dass das erst- und zweitpräferierte Objekt am ähnlichsten sind, dagegen das erst- und letzt- präferierte Objekt die größte Unähnlichkeit aufweisen. Die Positionierung eines Stimulus erfolgt über die Transformation der Ähnlich- keitsdaten in ein Distanzmodell. Hier sol­len geringe Distanzen von Stimuli eine große Ähnlichkeit signalisierenundumgekehrt. Ein MDS-Algorithmus umfaßt mit einem Distanz-Modell und einer MDS-Schätz- funktion mindestens zwei Modell-Komponenten. Unter Vorgabe der Dimensionsan­zahl (meist zwei) wird eine Ausgangskonfi­guration der Stimuli solange verbessert, bis eine möglichst gute Anpassung an die beob­achteten Daten erreicht ist. Man unterschei­det metrische und nichtmetrische Verfahren. In den meisten MDS-Verfahren hat die Be­ziehung der Positionen zweier Objekte und ihre Distanz die Form einer Minkowski- Metrik:
Mehrdimensionale Skalierung (MDS)
Mehrdimensionale Skalierung (MDS) mit
Mehrdimensionale Skalierung (MDS) Ein Metrik-Parameter von r = 2 bestimmt die im Rahmen der MDS häufig eingesetzte Eu­klidische Metrik. Die City-Block-Metrik er­gibt sich bei r = 1, während man bei r = °° von Supremiums-Metrik spricht. Unter Vorgabe der Metrik werden auf Grundlage der Ahn- lichkeitsdaten die Distanzen geschätzt. Der MDS-Algorithmus bestimmt die unbekann­te Beziehung f zwischen beobachteter Ähn­lichkeit und theoretischer Distanz. (2)
Mehrdimensionale Skalierung (MDS) mit beobachtete Ähnlichkeit zwischen Ob­
Mehrdimensionale Skalierung (MDS) jekt i und j, di, theoretische Distanz zwischen i und j, d‘ ij über f(öij) transformierte Ähnlichkeits­daten. In der metrischen MDS hat die Beziehung f((5;j) die Form eines Polynoms n-ten Grades. In der nichtmetrischen MDS handelt es sich um eine schwach monotone Funktion. Für eine vorgegebene Dimensionsanzahl und ei­ne Startkonfiguration bestimmt der MDS- Algorithmus die Stimuluskonfiguration (Konfiguration), die über die geschätzte Funktion eine möglichst gute Anpassung an die beobachteten Daten ermöglicht. Die Gü­te der Anpassung läßt sich, sofern keine degenerierte Lösung vorliegt, anhand des Stress-Wertes oder des Shepard-Dia- gramms beurteilen. Der Stress-Wert wird bei der Schätzung der Funktion als das zu minimierende Zielkrite­rium herangezogen. In den meisten MDS- Algorithmen werden Varianten des Kruskal- Stress eingesetzt:
Mehrdimensionale Skalierung (MDS) Als schlechte Modellanpassung gilt, wenn der Stress-Index größer als 0,2 ist. Die Höhe des Stress-Wertes sinkt in aller Regel mit ab­nehmender Zahl der Objekte sowie mit stei­gender Zahl der Dimensionen. Neben MDS-Verfahren, die eine einzige (in­dividuelle oder aggregierte) Datenmatrix an­alysieren, existieren MDS-Algorithmen wie INDSCAL (Individual Differences Sca­ling), die mehrere Datenmatrizen simultan als N- oder Mehr-Wege-Analyse verarbei­ten. Mehr-Wege-Daten liegen z.B. vor, wenn die Information einer Distanzmatrix z.B. über mehrere Personen oder zu ver­schiedenen Zeitpunkten repliziert wird und individuelle bzw. zeitpunktspezifische Un­terschiede erfaßt werden. Interpretationsmöglichkeiten eines MDS- Raums bietet die Facettentheorie oder die explizite Integration von extern erhobenen Eigenschaftsurteilen über Analyseprogram­me wie PROFIT (Property Fitting). Die Produktpositionen der Lösungskonfi­guration werden bei PROFIT auf Eigen­schaftsbewertungen regressiert, um diese als Eigenschaftsvektoren in den Wahrneh­mungsraum zu legen. Die auf den Vektor projezierten Stimulusdistanzen zeigen die eigenschaftsspezifischen Wahrnehmungs- unterschiede. Die Rotation des Wahrneh­mungsraumes ermöglicht zudem, die Eigen­schaftsvektoren auf die Raumdimensionen zu legen. Die exploratorischen MDS-Analysen sind heute durch Programme zur Konfirmatorischen MDS erweitert worden. Sie ermögli­chen es, Hypothesen über die Konfiguration der Stimuli im Wahrnehmungsraum mit ein­zubeziehen und zu testen (Borg und Lingoes). Der Test erfolgt über Restriktionen, die auf die MDS-Konfigurationen gelegt werden. Teststatistiken und Fitindices lie­fern Anhaltspunkte über den Grad der Ab­weichungen einer MDS-Lösung von einer hypothetischenZielkonfiguration. Ähnliches leistet der PROSCAL-Ansatz zur Schätzung von probabilistischen Konfi­gurationen. Ihr Vorteil ist die Explikation ei­nes Fehlermodells für die beobachteten Ähn­lichkeitsdaten. Sind die Annahmen über das Fehlermodell gerechtfertigt, können die Pa­rameter mit der Maximum-Likelihood- Methode geschätzt werden. Während die deterministische MDS nur Schätzer für die Stimulikoordinaten liefert, schätzt die pro­babilistische MDS dann sowohl die Position als auch die Unsicherheit der Position eines Stimulis im Raum. Der Ansatz liefert gleich­zeitig einen Signifikanz-Test für den Grad der Modellverbesserung bei Berücksichti­gung einer zusätzlichen Dimension.

Literatur: Borg, I.; Lingoes,]. C., A Model and Al- gorithm for Multidimensional Scaling with Exter- nal Constraints on the Distances, Psychometrika, 45.Jg. (1979) S.25-38. Dichtl E.; Schobert R.,
Mehrdimensionale Skalierung (MDS) Die Tabelle gibt eine kurze Charakterisie­rung wichtiger MDS-Algorithmen. Mehrdimensionale Skalierung. Methodische Grundlagen und betriebswirtschaftliche Anwen­dungen, München 1979. Green, P.E.; Carmone, F.J.Jr.; Smith, , Multidimensional Scaling: Concepts and Applications, Boston 1989. Kruskal, J.B., Multidimensional Scaling by optimizing Goodness of Fit to a nonmetric Hypothesis, in: Psychometrica, 29.Jg. (1964) S. 1-27. Schiffman, S. S.; Reynolds, M. L.; Young, , Introauction to Multidimensional Scaling. Theory, Methods and Applications, New York 1981, S. 59 f.

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