Black & Scholes-Modell

Mathematisch fundiertes Modell zur Bewertung von Optionen unter Berücksichtigung der verschiedenen Daten, die grundsätzlich auf den Optionspreis einwirken. Der so theoretisch ermittelte Wert wird auch als der faire Preis einer Option genannt. Zweck der dem Modell zugrunde liegenden Formel ist es, eine Vergleichbarkeit verschiedener Optionen zu ermöglichen.
Modell zur theoretischen, fairen Bewertung einer europäischen Option auf Aktien. Der Ansatz basiert auf folgenden Prämissen:
Es handelt sich um Optionen europäischen Typs. Der konstante Zinssatz auf risikolose Anlagen ist bekannt. Soll- und Habenzins sind identisch. Kredite sind in beliebiger Höhe zum risikolosen Zins erhältlich. Es erfolgen keine Dividendenzahlungen während der Laufdauer der Option. Die Aktienkurse folgen einer zufallsbedingten Kursentwicklung. Ihre Renditen sind logonormalverteilt. Es herrscht Arbitragefreiheit bei Unterstellung einer konstanten Volatilität. Transaktionskosten existieren nicht.
Berechnung für Kaufoptionen:

wobei:
C = Wert der Call Option
S = Aktienkurs
X = Basispreis bzw. Bezugspreis
r = risikoloser Zinssatz p.a.
e = 2,718281828
ln = natürlicher Logarithmus
t = Restlaufzeit der Kaufoption in Jahren
N(d) Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
s = Erwartete Volatilität der Aktienkurse

Es zeigt sich damit, daß der Optionspreis bei den Annahmen des Black & Scholes-Ansatzes in erster Linie von den Größen Aktienkurs und Restlaufzeit der Option abhängt.

1. Begriff: Optionspreisbewertungsmodell zur Ermittlung des Fair Values von europäischen Optionen auf Aktien oder Aktienindizes (z. Black-Scholes-Modell Optionen auf den DAX), das 1973 von F. Black und M. Scholes konzipiert wurde. – 2. Berechnung: a) Fair Value eines europäischen Calls:

C = S x N(d1) - X x e-rt x N(d2)

wobei:

C = Kurs der Call-Option (Optionsprämie)

S = Kurs des Basiswertes (z. Black-Scholes-Modell Stammaktie)

X = Basispreis

e = Euler\'sche Zahl 2,71828182 . . . (Basis des natürlichen Logarithmus)

r = auf der Basis stetiger Verzinsung berechneter annualisierter Zins

v = Volatilität

t = Restlaufzeit der Option

ln = Logarithmus naturalis

N (d) = Funktionswert der kumulativen Normalverteilung an der Stelle d,

wobei gilt

d1 = [ln (S/X) + (r + 0,5 x v2) x t]

: [v x t0,5] und d2=d1 - v x t0,5.

Alternativ kann für d1 geschrieben werden:

d1=[ln S/(X x e-rt) + 0,5 x v2 x t] : [v x t0,5].

Im Gegensatz zur obigen Formel wurde bei dieser Darstellung der Basispreis der Option abgezinst. N(d1) entspricht dem Delta (Delta-Faktor) einer Option. Mit dieser Formel können nicht nur europäische Call-Optionen bewertet werden, sondern auch amerikanische Call-Optionen, die keine Dividendenzahlungen haben. Da amerikanische Optionen während der Laufzeit immer eine Zeitprämie haben, würde man sich bei vorzeitiger Ausübung immer schlechter stellen. Diese Situation entspricht der von europäischen Calls. Das zusätzliche Recht der vorzeitigen Ausübung ist damit wertlos und amerikanische Optionen ohne Dividendenzahlungen können deshalb mit dem Black-Scholes-Modell & S. M. bewertet werden. – b) Fair Value einer europäischen Put-Option:

P = S x (N(d1)-1) - X x e-rt x (N(d2)-1)

wobei:

P = Kurs der Put-Option (Optionsprämie)

S = Kurs des Basiswertes

X = Basispreis

e = Euler\'sche Zahl 2,71828182 . . . (Basis des natürlichen Logarithmus)

r = auf der Basis stetiger Verzinsung berechneter annualisierter Zins

v = Volatilität

t = Restlaufzeit der Option

ln = Logarithmus naturalis

N(d) = Funktionswert der kumulativen Normalverteilung an der Stelle d, wobei gilt

d1 = [ln (S/X) + (r + 0,5 x v2) x t]

: [vx x t0,5] und d2 = d1 - v x t0,5.

Die Bewertung einer Put-Option kann auch durch Verwendung der Put-Call-Parity erfolgen. Für den Preis einer Put-Option gilt allgemein:

P = C + X x e-rt - S.

3. Folgende Prämissen liegen dem Black-Scholes-Modell & S. M. zugrunde: (1) Es handelt sich um europäische Optionen. (2) Während der Laufzeit der Option dürfen keine Ausschüttungen erfolgen. (3) Der annualisierte Zinssatz ist im Zeitablauf konstant. (4) Es existieren keine Transaktionskosten und Steuern, so dass das Hedgeportefeuille (Hedging, Portfolio) kontinuierlich gebildet werden kann. (5) Die Aktienkurse unterliegen einer Log-Normalverteilung. Die Abbildung “Black & Scholes Modell – Fair Value eines Calls” zeigt den Fair Value einer Call-Option in Abhängigkeit vom aktuellen Kassakurs des Basiswertes.

4. Sonderfälle: a) Bei einer Volatilität von Null vereinfacht sich die Call-Gleichung wie folgt, da sowohl N(d1) als auch N(d2) den Wert 1 haben:

C = S - X × e-rt.

b) Werden entgegen Prämisse (2) Dividenden ausgeschüttet (Blacksche Korrektur), verringert sich der Fair Value der Call-Option, da der Optionshalter im Gegensatz zum Aktionär keine Dividende erhält. Erfolgen während der Laufzeit einer Option Dividendenzahlungen, führt dies zu Kursabschlägen beim Aktienkurs. Dies bedeutet einen Nachteil für die Long Position eines Calls. Andererseits profitiert eine Put-Option von niedrigeren Aktienkursen, so dass der Fair Value einer Put-Option steigt. Im Fall einer ungeschützten Option, d. h. der Optionsinhaber erhält keine Kompensation, muss die Black&Scholes-Formel deshalb modifiziert werden (Blacksche Korrektur). Bei einer geschützten Option erhält der Optionshaber eine Kompensation. Der Basispreis kann hierbei beispielsweise um die Dividendenhöhe verringert werden. Deshalb brauchen Dividendenzahlungen beim Black-Scholes-Modell & S. M. nicht berücksichtigt zu werden. Die Tabelle zeigt, für welche Fälle mit dem Black-Scholes-Modell & S. M. der Fair Value von Optionen ermittelt werden kann.

Das Black-Scholes-Modell & S. M. ist die Basis für das Black-Modell, das zur Bewertung von Optionen auf Futures konzipiert wurde, und wird nicht nur zur Bewertung von europäischen Aktienoptionen, sondern auch zur Ermittlung des Fair Values von Optionsscheinen auf Aktien (Warrant auf Aktien) verwendet. Modifikationen des Black-Scholes-Modell & S. M. werden u. a. auch zur Bewertung von Devisenoptionen (Garman/Kohlhagen-Modell) verwendet.

Vgl. auch: Cox-Ross-Rubinstein-Modell

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