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Hypothesenprüfung

Im Rahmen einer statistischen Hypothesenprüfung wird z. B. bezüglich eines Parameters einer Merkmalsverteilung über einer Grundgesamtheit eine Hypothese formuliert und anschliessend geprüft, ob diese aufgrund des Ergebnisses einer aus der Grundgesamtheit gezogenen Zufallsstichprobe verworfen werden muss oder nicht. Liegt z.B. über den Mittelwert i einer Merkmalsverteilung über der Grundgesamtheit eine Schätzung i0 vor und liefert die Stichprobe einen Schätzwert x, so ist zu prüfen, ob das Stichprobenergebnis mit der Nullhypothese H0 : i = i0 verträglich ist oder ob ein statistisch signifikanter Unterschied zwischen |x und i0 vorliegt (Alternativhypothese Hi : i =£ |i0). Dabei kann es sich ergeben, dass aufgrund des Stichprobenergebnisses die Nullhypothese verworfen wird, obwohl sie wahr ist (Fehler 1. Art). Andererseits kann nicht ausgeschlossen werden, dass die Nullhypothese aufgrund des Stichprobenergebnisses nicht verworfen wird, obwohl sie nicht wahr ist (Fehler 2. Art). Beispiel: Das Durchschnittseinkommen |x0 einer Grundgesamtheit von Personen werde mit jl0 = 2200 DM pro Monat angenommen. Eine Überprüfung dieses Wertes bei einer Stichprobe im Umfang von n = 100 habe einen Wert von x = 2272 DM bei einer Standardabweichung von s = 300 ergeben. Es ist nun zu prüfen, ob das Stichprobenergebnis x innerhalb desjenigen Wertebereiches (Vertrauensbereiches) für x liegt, der bei Zugrundelegung einer Irrtumswahrscheinlichkeit von a = 5% (d.h. za = 1,96) für die Verträglichkeit mit der Nullhypothese H0 : i = i0 gilt. Liegt der Wert x ausserhalb des Vertrauensbereiches, so muss die Nullhypothese verworfen werden. Das Stichprobenergebnis stützt sie nicht. Andernfalls kann die Nullhypothese nicht verworfen werden, da das Stichprobenergebnis keine ausreichenden Anhaltspunkte dafür liefert. Es ergibt sich hier bei einem zweiseitigen Test folgendes Wahrscheinlichkeitsintervall: hypothesenprüfung Mit der Stichprobenstreuung bezüglich des Haushaltseinkommens von s = 300 als Schätzwert für die unbekannte Streuung der Grundgesamtheit o erhält man: 2142 DM = x ( 2258 DM. Da das Stichprobenergebnis x aber ausserhalb dieses Bereiches liegt, muss die Nullhypothese (|i = |i0) bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von a = 5% verworfen werden. Eine Senkung der Irrtumswahrscheinlichkeit a führt stets zu einer Vergrösserung des Annahmebereiches und damit zu einer höheren Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art. Es wurden eine Reihe von statistischen Testverfahren entwickelt, die entweder dazu dienen, Hypothesen über einen unbekannten Parameter der Grundgesamtheit, wie z. B. den Mittelwert, zu überprüfen ( Parametertest) oder wie bei einem sog. Chi-Quadrat-Test Hypothesen über die Verteilung der Grundgesamtheit zu testen ( Verteilungstest).  

Der Ablauf statistischer Signifikanztests im Rahmen der Inferenzstatistik läßt sich grob in die Schritte Hypothesenformulie­rung, Festlegung des Signifikanzniveaus, Wahl einer geeigneten Testfunktion, Bestim­mung des Verwerfungsbereichs und Ent­scheidungsfindung auf Basis der Realisation des Testfunktionswertes einteilen. Entschei­dend ist die Einhaltung der Reihenfolge des Testablaufes. Insb. muss die Hypothesenfor­mulierung vor der Analyse des vorliegenden Datenmaterials erfolgen (Bamberg/Baur (1989),S. 179). Man unterscheidet bei der Hypothesenfor­mulierung hinsichtlich ihres Inhaltes zwei Grundtypen: Einerseits kann sich die Hypo­these auf einen unbekannten Parameter be­ziehen, wie etwa auf den Lageparameter oder den Streuungsparameter der unbekannten Verteilung einer Grundgesamtheit. Man spricht bei Testverfahren dieses Hypothe­sentyps von parametrischen Tests. Anderer­seits kann sich die Hypothese auf die gesamte Gestalt der Verteilung des Untersuchungs­merkmals erstrecken. Es handelt sich dann um nichtparametrische oder vertei­lungsfreie Testverfahren. Bei der Hypothe­senbildung werden meist zwei sich ausschlie­ßende Alternativen formuliert, nämlich die Nullhypothese Ho und die Gegen- oder Al­ternativhypothese Hi. Im letzten Schritt des Testablaufes, der Entscheidungsfindung, können nun zwei Fehlertypen auftreten. Ei­nerseits kann die Nullhypothese verworfen werden, obwohl sie wahr ist (Fehler
1. Art), und andererseits kann die Nullhypothese angenommen werden, obwohl die Gegen­hypothese wahr ist (Fehler
2. Art). Man versucht nun, die Hypothesen so zu formu­lieren, dass die maximale Wahrscheinlichkeit des möglichen Fehlers abgeschätzt werden kann. Zu diesem Zweck wird eine Nullhypo­these gewählt, unter deren Gültigkeit die Verteilung der gewählten Testfunktion be­kannt ist. Als Gegenhypothese formuliert man denjenigen Tatbestand, den man mit einer vorgegebenen zulässigen Fehlerwahr­scheinlichkeit (dem Signifikanzniveau a) bestätigen will. Wird nun die Nullhypothese verworfen, da die Realisation der Testfunk­tion im Verwerfungsbereich liegt, wird zu­gleich die Gegenhypothese bestätigt und sichergestellt, dass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler
1. Art kleiner gleich «liegt. Wird die Nullhypothese dagegen bestätigt, kann meist keine Aussage über die Wahrschein­lichkeit für einen Fehler
2. Art gemacht wer­den.          

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